квадратните форми

Рейтинг: 5/5

Литература: Събиране на проблеми в областта на математиката. Част 1. Редактирано от A. V. Ефтимова, BP Demidovich.

Ако действителната линейна пространство $ L_n $ фиксирана основа $ B = (e_1. E_n), $ квадратна форма $ А (х, х) $ в тази база има формата $$ А (х, х) = \ сума \ limits_ ^ п a_x_ix_j, $$ където $$ а = (а _) = \ begina_a_ \ cdotsa _ \\ a_a_ \ cdotsa _ \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ a_a_ \ cdotsa_ \ край $$ - матрица квадратна форма и $ х = x_1e_1 +. + X_ne_n. $

В квадратна форма $ А (х, х), $ са дефинирани в действителната линейна пространство $ L_n, $ я нарича положителен (отрицателен) се определя, ако за всеки $ х \ в L_n \ \ \, (х \ НЕК 0) $$ $ А (х, х)> 0 \ qquad (<0).$$

Нека $ А = (a_) - $ матрица на квадратна форма $ А (х, х) $ и $$ D_1 = a_ \ четири D_2 = \ begina_a _ \\ a_a_ \ цел \ \ \ cdots, \, \, d_n = \ begina_a_ \ cdotsa _ \\ a_a_ \ cdotsa _ \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ a_a_ \ cdotsa_ \ край - $$ последователност на основните непълнолетни на матрицата А. $ $

Критерият за положително определено квадратното форма е followingManufacture изявление (Силвестър критерий) на квадратното форма $ A (х, х) $ е положително определена единствено и само ако всички основни непълнолетните на своята матрица $ A $, за да бъдат положителни, което е $ D_k cdots> 0, \, \, к = 1, 2, \, п. $

Ние можем да докаже, че за квадратичен форма $ А (х, х) $ има отрицателно opredelnie е необходима и достатъчна, че неравенството $ (- 1) ^ kD_k> 0, \, \, к = 1, 2, \ cdots, п. $

В следните проблеми, за да се определи какви са квадратните форми са положителни или отрицателни определен и какво - не.

квадратна форма матрица има формата $$ А = \ begin15 \\ 526 \ край. $$

Изчисляваме основните непълнолетните на матрица $ A: $

$$ D_2 = \ begin15 \\ 526 \ край = 1 \ cdot 26-5 \ cdot 5 = 1> 0. $$

По този начин, всички основни непълнолетни на матрицата $ A $ да бъдат положителни, което означава, че даден квадратна форма е положителен определен.

A: положително определено.

Матрицата на квадратна форма има формата $$ А = \ започне-11 \\ 1-4 \ край. $$

Ние изчисляваме основните непълнолетните на матрица $ A: $

По този начин, план на неравно $ (- 1) ^ kD_k> 0, \, \, к = 1, 2, \ cdots, п, $, която се дава с квадратна форма е отрицателен определен.

A: отрицателен определено.

Матрицата на квадратна форма има формата $$ А = \ begin00,50,50 \\ 0,50-11 \\ 0,5-100 \\ 0002 \ край. $$

Ние изчисляваме основните непълнолетните на матрица $ A: $

Следователно, квадратна форма е нито положително, нито отрицателно определен.

В следните проблеми, за да се определи какви са квадратните форми са polopzhitelno или отрицателно определени, и какво - не.

A: отрицателен определено.