В квадратно уравнение; въображаеми и комплексни числа
Квадратно уравнение, въображаеми и комплексни числа
Алгебрично уравнение от втори степен също се нарича квадрат. Най-общо под формата на квадратно уравнение с едно неизвестно е,
където А, В, С - броят на данни или буквално изрази, съдържащи известни количества (коефициентът на не може да бъде нула, в противен случай квадратно уравнение няма, и нивото 1). Разделяйки двете страни с, получаваме уравнението
(Р = б /; р = с / а).
Квадратно уравнение на тази форма се нарича намалена; уравнение брадва 2 + BX + с = 0 (където ≠ 0), наречен нередуциран. Ако една от стойностите на Ь, с или и двата са нула, едно квадратно уравнение се нарича непълна; и ако А и Б не са нула, квадратното уравнение се нарича пълна.
примери
3x 2 + 8x -5 = 0 - нередуцираната пълно квадратно уравнение;
3x 2-5 = 0 - непълна unactuated квадратно уравнение;
х 2 - брадва = 0 - непълна даден квадратно уравнение;
х 2 - 12x 7 = 0 - завърши дадена квадратно уравнение.
Непълно квадратно уравнение на формата
х 2 = m (М - известна стойност)
Това е най-лесният вида на квадратно уравнение и още охра важно, тъй като тя осигурява решение на всички от квадратно уравнение. Разтворът на това уравнение има формата
Възможни са три случая са:
1) Ако т = 0, тогава х = 0.
2) Ако т - положително число, неговата квадратен корен може да има две стойности, един положителен и други отрицателни. Абсолютните стойности на тези стойности са идентични. Например, уравнението х 2 = 9 е доволен стойност х = + 3 и х = - 3. С други думи, х има две стойности: 3 и - 3 Често това се изразява в това, преди радикална позата два знака - плюс и минус.
С това писание се разбира, че експресията се отнася до общия абсолютната стойност на коренни две стойности; в нашия пример - 3. Стойността на брой може да записва с висока бъде ирационално. Имайте предвид, че самата м може да е ирационално число. Да предположим, че искате да се реши уравнението
(Геометрично това означава да се намери дължината на квадрата равно в зоната на окръжност с радиус 1). Коренът му х = √π.
3) Ако т - отрицателно число. след това уравнение 2 х = М (например, х = 2-9) не може да има положителен и отрицателен не корен: за двете положителни и отрицателни числа за квадратиране дава положително число. По този начин, може да се каже, че уравнението х = 2-9 няма решение, т.е. броят не съществува.
Но с една и съща база преди въвеждането на отрицателни числа, можем да кажем, че уравнението 2x + 6 = 4 все още няма решения. Въпреки това, след въвеждането на отрицателни числа, това уравнение се превърна решими. По подобен начин, уравнение х = 2-9, като не решения включват положителни и отрицателни числа, става разтворим след въвеждане на нови променливи - корен квадратен от отрицателни числа. Тези стойности за първи път са въведени от италианския математик Кардано в средата на 16-ти век във връзка с решението на кубичен уравнението. Cardan нарича броя на "sophistically" (т. Е. "Tricky"). Декарт през 30-те години на 17-ти век, въведена името "имагинерни числа", които, за съжаление, все още се провеждат. За разлика от въображаем номера по-рано известен брой (положителни и отрицателни, включително и ирационален) става известен валиден или реален. Размерът на реални и въображаеми числа се нарича комплексно число * .Chasto и комплексни числа се наричат имагинерни.
Обърнете внимание на имагинерните числа, можем да кажем, че непълно квадратно уравнение х = m 2 винаги има две корени. Ако m> 0, корените са реални, те имат същата абсолютната стойност и различни по знак. Ако m = 0, и двете са равни на нула; ако m