Очакваното областта на равнина фигура 1

51. площ планарна на многоъгълника е равна на 150 cm 2. Откриване площта на проекцията на многоъгълника на самолета, ъгълът на състав до, регулиращи равнина многоъгълник на 60 °.

52. Дан триъгълник ABC с страни I = 13 cm, 6 см = 14, с = 15 см. След страна на слънце и се държи равнина под ъгъл от 30 ° към равнината А ABC. Намерете триъгълник проектната площ на самолет.

53. Виж многоъгълник площ планарна, ако областта на своята проекция е 20 m 2 и двустенна ъгълът между равнината многоъгълник и проекцията е 45 °.

54. Откриване областта на обхвата на проекция на равнина образува ъгъл равнина диапазон от 30 °. Радиусът на кръга е равно на 2 м.

55. 1) докаже, че ако две плоски ъгли, прави линии и обратна двустенна ugly- тях направо в тристранен ъгъл.

2) докаже, че тристранен ъгъл ако двустранен две права ъгъл, противоположна направо ugly- тях плоски.

56. Всеки ъгъл равнина тристранен ъгъл е 60 °. В един от краищата си от горния сегмент забавено дължина, която е равна на, и пропуска перпендикулярна-dikulyar на противоположната страна на края на сегмента. Да се ​​намери дължината на перпендикулярна-dikulyara.

57. Всяка от планарни ъгли на триъгълни ъглови РА вени, както и. Изчисляване на ъгъла между реброто и обратната страна.

§3. СМЕСЕНИ ПРОБЛЕМИ

58. куб ABCDA1 В1 С1 секция D1 слайд през средата на реброто A1 D1 и D1 С1 и връх A. изчисляват областта на този раздел, освен ако реброто е равна на един куб.

59. От точка O разположена извън две паралелни равнини, а и р, проведена три греди пресичащи равнина и р-venno Съответно в точки А, В, С и Au Bu Ct (ОА<ОА^). Вычислите периметр треугольника А^В^С^ если ОА=т, АА1 = п, АВ=с, АС=Ь, ВС=а.

60. Точката М е извън равнината на правоъгълен триъгълник ABC участника (С = 90 °); MA1AS, MS1SV. Докажете, че MA1lt. ABC.

61. По-малката основа на трапеца лежи в равнина, и която е на разстояние от по-голямата основа на трапеца 10 см; трапецовидна основа са като 3: 5. Намерете разстоянието на точката на пресичане диагонали на трапеца от самолет.

62. Ъгълът на триъгълник ABC в линия и пр = а. От връх A проведе перпендикулярна на равнината на триъгълник АД. Намерете разстоянието от точка D до крак преди Христа, когато DC = m.

63. В триъгълник, чиито страни е 10, 17 и 21 см от върха на ъгъл по-голям проведе перпендикулярна на неговата равнина, равна на 15 cm. Изчислява разстоянието от края на perpendiku-lyara разположена извън равнината на триъгълника до по-голяма страна на триъгълника.

64. Краката на правоъгълен триъгълник, равна на 18 и 32 см. От точка D, хипотенузата разделя на половина, проведена перпендикулярно на равнината на триъгълника DE, равна на 12 cm. Изчисляване на разстоянието зададена от точка Д към всеки крак.

65. Чрез горната част на квадрата проведе наклонена към равнина, сключваща ъгъл и от всяка страна на квадрата, преминаваща през този връх. Виж ъгълът между наклона на диагонал-и солна квадрат.

66. В страната на ромба извършва равнина генератори с диагоналните ъглите а и 2а. Изчислете остър ъгъл на ромба.

67. Основата на равнобедрен триъгълник е равна и ъгълът при върха А; през основата на триъгълника проведе SVOCs кост образуващ с всяка от страничните страни на ъгъл р. Да се ​​намери дължината на този самолет от върха на триъгълника.

68. Сегментите включени между две успоредни равнини, които са, като 2: 3, и образуват ъгли с равнините, съотношението на което е 2. Изчисляване zggi ъгли.

69. Две еднакви квадрати имат обща страна; равнини образуват двустенен ъгъл равен на. От общия върхове във всяка от квадратите, държани по диагонал. Изчисляване на ъгъла между диагоналите.

70. едно лице малък двустенен ъгъл прав ъгъл от 30 ° до другата страна и под ъгъл от 45 ° до ръба. Изчислете двустенен ъгъл.

71. Двете равностранни триъгълници имат обща основа, и техните равнини образуват ъгъл от 60 °. Обща база равна на 16 см, странична страна на триъгълника е 17 см, а страничната ни STORA друг взаимно перпендикулярни. Изчислете разстоянието между върха на триъгълника.

72. В едно от лицата на двустенна ъгъл равен на, ред е съставен, образуваща ъгъл Р с ръба на двустенен ъгъл. Намерете ъгълът на наклона на тази линия на другата страна.

73. тристранен ъгъл всеки плоски ъгли е 60 °. Чрез точка А, взети в един от ръбовете на ъглите и в областта на неговия връх, извършва равнина, перпендикулярна на този ръб и другите две пресичащи краищата на точки В и С. Вижте триъгълник ABC периметър.

74. две плоски тристранен ъгъл равен ъгъл 45 °, а трети ъгъл планарна съдържа 60 °. Изчислете на ъгъла между равнините, намиращ се в трета ъгъла на анти-самолет.

75. тристранен ъгъла всеки равнинни ъгли равни на. Намерете ъглите между равнините.

1) от центъра на кръга окръжност около правоъгълен триъгълник с остър ъгъл от 30 °, за да престои, перпендикулярна на неговата равнина, дължина съвместно torogo е 6 см. Край perpendi-kulyara разположена извън равнината на триъгълника на разстояние от по-голям тета ка-10 см. Изчислете хипотенузата на триъгълника.

2) Две TRE равнобедрен ABC полигон и имат общ ACD

база AU, AU двустенен ъгъл е 60 ° и ъгълът, образуван от Rhone-сто BC с ADC равнина е 45 °. Страничният пр.н.е. е равна на 6 см. Изчислената-Лийт площ на триъгълника ABC.

1) равнина се прилага директно ъгъл триъгълник хипотенузата на който е 12 см. Пространство stve дадена точка, отдалечени от kazh-Doi триъгълник връх 10 см. Изчислява разстоянието на точката от равнината.

2) основа AU равнобедрен триъгълник ABC-ЛИЗАЦИЯ лежи в равнина, и връх се отстранява от равнината, в 3 ^ / см 2. изчислява площта на триъгълника ABC, ако Ас = 18 cm, и триъгълник ABC равнина склонни да равнина под ъгъл 45 °.

Глава 21 вектори в SPACE

ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ. Декартови координати в пространството

1. вектори в пространството. В пространството, както и на равнината, вектор се нарича насочено сегмент. Просто се дефинират основните понятия на вектори в пространството: вектор единица, посоката на вектора, равенство на вектори.

Вектори са разположени на прави успоредни една и съща равнина, или лежи в тази плоскост се наричат ​​в една равнина.

Три вектори, между които има най-малко един нулев вектор се считат в една равнина.

Всеки вектор пространство и може да се разшири в три предварително определено не-копланарни векторите а, б до С:

2. Правоъгълна координатна система в пространството. Нека лесен на пространството даден тройна на двойки ортогонална единичен вектор I, J и депозиран от началната точка О (фиг. 161). Такива вектори се наричат ​​три правоъгълна основа ^ в пространството. Наборът от О, произход и правоъгълна основа (F, J, 1с), посочена правоъгълна координатна система в пространството.

вектори на разпадане и основа (£ J, ф има формата

Координати на М-номер на X, Y, Z (фиг. 162) в системата на координатната-ме-нарича вектор координира ОМ = а.

Ако ОМ = а = (х; у; Z), след това на записване М (х; у; Z). Броят х SOI наречената абсциса, ординатата и Y-Z-applicate точка вектор М или OM = а. Начало За ​​вектори се нарича произхода. Осите определени от вектори /, J, K, наречени координатните оси и равнини, минаващи през всеки две координатни оси, координатна равнини. На пространството, в което дадена координатна система, наречена лесен координира на пространството.

Координира самолети разделят всичко не принадлежи към тях по отношение на пространството, в осем области, октанта.

Точките на координатната равнина, са една от координатите на нула. Точки лежи на координатните оси, координати са две, равна на нула. Произходът има всички три координати са равни на нула.

Признаци на координати на точки в пространството, са показани в таблицата по-долу:

Ако всички координати на вектора и различни от нула, тогава този вектор могат да бъдат представени като диагонал на правоъгълен паралелепипед, цифровата стойност на ръба дължини на които са равни на [х \, [у |. (162 Фиг), \ Z \.

Предварително определената правоъгълна основа (T, J, K) всеки три числа (х; у; Z) определя един вектор, за които тези номера са координати.

По дефиниция, има правоъгълна основа

T'j = 7 'к = J * / С = О, Т = 2/2 = £ 2 = 1.

Ако началото на вектора и точка А (Ха, Ya, Za), - крайна точка В (ХЬ, Yb, Zb), на вектор = AB има координира равен на разликата между съответния координира точки В и А:

и тя е написана под формата

3. Правила за действие за вектори, дадени техните координати.

координатите на сумата от два (или повече) вектори на равни количества Съответно vuyuschih-координират условия, т.е. + S = .. (х 1 + 2 х; у ± + y2; Z1 + z2);

координати на разликата на два вектора, равна на разликата на съответните координати на тези вектори, т.е., А-В = (х1 -X2; y1 -y2; Z1 -Z2) ..;

координати на вектор продукта от броя равна на произведението на съответните координати на вектора на тази фигура: W = Х =; tumzJ.

4. Състояние на колинеарност на два вектора. Условия колинеарност на два вектора а = (х 1, у ±, Z ^) и S = ​​(х2; y2; z2) има формата

Ако m> 0, тогава вектори А и Б имат една и съща посока; ако т<О, то направления векторов противоположны.

5. Дължината на вектора. дължина вектор (разстоянието между две точки) се изчислява по формулата

Дължината на вектора на радиус се изчислява по формула

\ А \ = Y / х 2 + Y + Z 2 2. (21.7)

6. Разделете сегмент в това отношение. Ако сегмента AB е разделена точка С срещу AC: CB = X, тогава координатите на точка са дадени

7. уюта посоката на вектора. Ъглите, образувани от вектор радиус и координатните оси вол Oy, Оз, изчислени от формулите

1 D 1 г / х 2 + Y + Z 2 2 \ а \ у] х 2 + Y + Z 2 2 \ а \

Уют, изчислени съгласно следните формули се наричат ​​насочващи уют на вектор.

За посока уюта на вектор връзка трюмовете:

COS A + защото 2 2 R + защото 2 у = 1 (21.11)

1. сегмента AB, където А (7, 2, -3), В (-5, 0, 4), е разделена във връзка с точка С X = AC: CB = 1: 5. Намерете координатите на точка В.

Замествайки уравнение (21.8) = 1 стойности хА, Ya = 2, ЗА - -3, XJG - - 5, UV = 0, ZB == 4 и X = 1/5, ние получаваме:

7 + (1/5) (- 5) 2+ (1/5) • 5 0 - 3+ (1/5) -4 11

1 + 1/5 "Vc 1 + 3 1/5" 1 1/5 + 6 '

Така, C (5; 5/3; -11/6). е

2. Виж уюта на ъглите, че вектор = 7-2 / 2k + форми с референтните вектори.

На формула (21.6) и намери дължината на вектор:

\/ 12 + (- 2) 2 + 2 2 = 3.

Според формули (21.10) намираме уюта на ъглите, образувани от векторните данни с базата вектори: COS а = 1/3, COS р = -2/3, защото у = 2/3. е

3. Дан паралелепипед ABCDA ^^^ D ^. Сложете 1) от точка

Вектор CD; 2) от точка Bt вектор AB; 3) от точка С AAV вектор

4 ^ Дан тетраедър ABCD. Виж сумата от вектори ^ 1) BC + CD +

+ DA; 2) АД + DC + CB; 3) AB + I + CD + DA.

6. Dana призма ABCA ^ B ^ С ^. Намерете сбора на векторите:

7. Да М бъде средата на AB, и О е произволна точка в пространството. Докаже, че равенството ОМ = (ОА + ОВ) / 2.

8. Dan тетраедър ABCD ^ От гледна точка на otlozhite_vektor, анти-bying вектор: 1) АД; 2) CD; 3) AB; 4) SS.

9. Освен точка О. взети триъгълник ABC равнина настрана от О вектори: 1) OB-ОА; 2) OC-RH; ^ 3) OA - OB + OS.

10. Дан тетраедър ABCD. Докажете, че AD + BC = BD + AC.

11. Да разгледаме успоредник ABCD, и е произволна точка О. докаже, че ОА + OC = OB + OD.

12. Нека пресечната точка на М-точка на медианите на триъгълника ABC и О е произволна ^ gochka_prostranstva. Докаже, че равенството ОМ = (ОА + OB + OS) / 3.

13. Дан паралелепипед ABCDA ^ B ^^ Г ^ кои от следните три вектори копланарна 1) AB, BC, ДДТ; 2) AAl9

BJ? SSG; 3) AB BC, MHS; 4) D AD, 5) D

14. Какви са три подредени двойки на върховете на тетраедъра на ABCD, определящи колинеарни вектори, и три подредени двойки, които определят една равнина и не-копланарни вектори.

15. Дан паралелепипед ABCDA ^ B ^^ Г ^ СРЕЩУ-рамки на вектори AB = р, Q = АД и г = АА1 вектори: 1) ADX; 2) ACX; 3) AM,

където М е средната точка FIW 4), където N-средната точка В ± С; 5) АР където PeDl хлорид и D1 P: PC1 = 3A.

16. Дан тетраедър ABCD. Metsiany ръба ^ ABC се пресичат в точка М. СРЕЩУ DA вектор на вектори DB, DC, DM.

17. Да разгледаме успоредник ABCD и извън точката М. СРЕЩУ векторите MA = A, CF = б = С MS вектори: 1) MO, където точката на пресичане на линиите О-AC и BD; 2) MD; 3) MN, където N-среден сегмент АД.

18. конструкт точки: А (2; 3; 4); В (- 2, -3, -4); C (- 2 - 3; 4); D

19. Какви са координатите на вектор 1) 3i + 2й-5lc; 2) 2i-к;

0,57 + Jlj; 4) 3 £; 5) -4 /; 6) (G.

20. Предвид векторите: 1) г = 2/3 + / - 5FC; 2) 5 = - / + -2y 3fc. Vo лед глупости техните координати.

21. конструкт Вектори: 1) = (2; 3; 4); 2) 5 = (2, -3, -4);

22. Конструкт вектор AB, където: 1) (2, -3, 4) и / (- 3, 2, -5)?

А (0, -2 и 3) и D (5, 0, -4).

23. Познаването на координатите на точките А (4, -3, 2) и 2 (- 2; 4; 3) ?, N (0, 5, 1)

и N (-4 0, -3), се координатите на векторите AB и ^ MN.

24. Познаването на координатите на вектори А = (? 2 3 - 4] = L ^ (-1, 2, 1) и = (3, 0, 2), се координатите на вектори ^ 1) А + В; 2) + С; 3) + б - С; 4); 5) - I + 2в; 6) Sb + 2а - 2с.

25. Използване на състоянието на колинеарност на два вектора, про-доверието ако векторите са колинеарни: 1) = (2/5; 1/3; 4/5) и L =

26. За кои стойности пир векторите а = (- 3; л, 4) и В = (- 2 ;? 4 /) са колинеарни? ^

^ ^ 27. Изчисли дължината на вектора: 1) = - 7- 2J + 2k \ 2) 6 = Т + 2 / - и £; 3) С 7-1s; ? 4) * = - 3 £

28. Изчисли dliyu вектор I + 5, където: 1), п = (- 1, 2, 1),

29. Изчислете дължината на вектор Gia + 26, ако а = (2; 0; 0) 6 = (1, 1, 1).

30. Изчисли дължината на вектора AB, ако J 4 (5; 3; 1) и В (4, 5, 1).

31. Виж периметъра на триъгълник, образуван от векторите AB, BC и CA, ако L (8, 0, 6), В (8; -4, 6), C (6; -2 5).

32. сегмент В се дава координатите си край A (4; 2; 3) и В (6, -4, -1). Намерете координатите на точката, която разделя сегмента на половина.

33. Линията AB се дава нейните краища координира А (3, -2, -5) и 5 ​​(7; 6; - 1). Откриване координатите на точка го разделят по отношение X = AC: CB = 1: 3.

34. Виж точката на пресичане на медианите на триъгълника, ако върховете са точките А (1 \ -4, 5), В (- 1, 8-2) и С (-12, 1, 6).

35. Виж уюта на ъглите, които формират основата векторите на следните вектори: 1) = F-F / - + K; 2) 5 == (4; 3, 0); 3) = - / - 3fc; 4) 3 = 31