Научни и методически основи за изучаването на области от равнинни фигури в начално училище, основите на теорията на пространството

Основи на теорията на пространството

Помислете за основните положения на теорията на пространството.

Ще започнем с площ определение на многоъгълник. Един прост многоъгълник се нарича обикновено затворен многоъгълна съответствие с част от равнина, ограничена от него. Ще разгледаме само прости многоъгълници, наричайки ги за кратки полигони.

Определение: Помислете за комплект М на всички полигони в евклидовата равнина. Твърди се, че измерването на набор от полигони пространство, ако е определено картографиране S. M> R +. удовлетворяване на следните аксиоми:

Ако полигони F и F 'са равни, тогава S (F) = S (F).

S (P0) = 1. където P0 - квадратна, построен на единица интервал като страничен.

Положително число S (F), или мярка се нарича област на многоъгълник F, квадратен P0 - единица квадрат, и аксиома 1, 2 и 3 - измерване аксиоми област.

Теорема 1: (съществуване и уникалност): на Euclidean геометрията винаги съществува картографиране S. M> R +. отговарят на аксиоми 1, 2 и 3, и ако избраната единица интервал, то е уникален картографиране.

Въздействие: Сумата от областта на тези триъгълници е един и същ с всеки метод F полигон разлагане в ограничен набор от триъгълници.

Забележка: Съществуването и уникалността на района на полигон не е доказано в хода на учебната геометрия. Независимо от това, теорията на пространството, преподава в училищата, има специфично значение: тя се основава на твърдението, (което се приема без доказателства), че съществува картографиране S. M> R +. задоволяване на аксиоми 1, 2 и 3, дава възможност да се изчисли площта на елементарните полигони за някои данни, като по този начин в училище разбира геометрия, определени уникалност мярка простите полигони. Да предположим, например, за да се изчисли площта на многоъгълник F, ние го разби в триъгълници и взе сумата от областите на получените триъгълници. Разбираемо е, че най-различни начини за разделяне на триъгълници получаваме същия резултат. Но защо? В училище геометрия отговор на този въпрос е не. Наличие и уникалност теорема дава ясен отговор: за всеки дял на полигона триъгълници на F на сумата от квадратите дава еднозначно определен брой S (F). От тази теорема, а зоната на изход от аксиомата на формулата за изчисляване на площта на всеки правоъгълник, успоредник, триъгълник.

Теорема 2: Ако S. M> R + - картографиране задоволяване аксиоми 1, 2 и 3, S (P) = XY, където Р - правоъгълник, чиито страни са равни на х и у.

Теорема 3 Ако S. M> R + - картографиране задоволяване аксиоми 1, 2 и 3, S (T) = XY, където Т - триъгълник, X - една от нейните страни, и у - подходяща височина.

Определение: Две полигони се наричат ​​изометрични, ако техните райони са равни.

Ясно е, че има връзка с равен еквивалентност на набор М на всички полигони.

Определение: Две полигони F и F 'се наричат ​​equidecomposable, ако те могат да бъдат разделени на същия брой полигони съответно равни.

Тя може да се докаже, че equidecomposability съотношението също е връзка равностойност на набор М на всички полигони.

Теорема 4: Ако полигоните са опа, те еднаква площ.

Забележка: Тази теорема е базиран метод разлагане за изчисляване на площта на полигона F: многоъгълника се разлага на ограничен набор от полигони, така че човек може да бъде "сгънат" многоъгълник, чиято площ е известен. По този начин в училище курс на геометрията са формули за изчисляване на площта на успоредник, триъгълник, трапец.

Следното изявление е обратното на Теорема 4.

Теорема 5 (Бояй-Gervin): Ако полигони с еднаква площ, те опа.

Така, в множество М на равенството на всички съотношение полигони съвпада със съотношение equidecomposability.

А какво да кажем областта на произволна форма, например, с площ от един кръг? Този проблем възниква, когато геометрията на материалите, представени от училището. Налице е необходимост да се разширява теорията за проучване площ квадрати, които до сега е само набор от всички полигони самолет.

Определение: Фигура М се нарича Площ ако за всяко положително число да вземете такива полигони P и Q, че Р и Q M S (Q) -S (P).

Теорема 6: В набора от данни squarable съществува, и само един, функцията S, отговаря аксиоми 1, 2 и 3 на области от измерването.

Броят на S (F) се нарича областта на фигурата F, където F-squarable фигурата.

Забележка: Методът за изчисляване на площта на фигурата, на базата на разглеждането на полигони, постепенно запълване на цялата фигура, се нарича метод на изчерпването (в учебниците, с помощта на този метод получаваме формула за изчисляване на площта на кръг и не само).

По молба на палети (директно измерване на площи).

Тя обикновено се казва, че площ S (F) F е броят на фигури показва колко единици площ на тази фигура е съставено (за единица площ е взето квадратно чиято странична дължина е равна на една). Въпреки това, това ясно обяснение не може да бъде точна математическа дефиниция на понятието за пространство. Не е ясно, например, как се състои от единици площ кръг на определен радиус.

Един от начините да се определи понятието за района се основава на разглеждането на палитри - дял на самолета в еднакви квадрати. Нека мозайка страна на площада има дължина 1. Да бъде дадена фигура на F и нека a1 е най-голям брой квадратчета, изцяло се съдържа в числото F, и B1 - най-малкият брой квадратчета, съдържащи тази цифра изцяло. Например, фигура F съдържа фигура състои от 9 квадрати мозайка и съдържа на фигурата, състояща се от 29 квадратчета, обаче 9 # 63; S (F) # 63; 29, т.е. а1 = 9, b1 = 29 (фиг.1).

За по-точна оценка може да се използва палети, които имат площади страни на дължина от 1/10 (така, че във всеки квадрат 100 съдържа предишните мозаечни площади нова мозайка). Ако, да речем, F съдържа фигура, съставена от 1 716 нови площади мозайка и съдържаща се в една фигура, съставена от 1 925 от тези квадрати, а след 17.16 # 63; S (F) # 63; 19.25. Отново, смилане мозайка (т.е. намаляване до 10 пъти дължината на страните на квадрата), може да се оцени по-точно S (F), и т.н.

Описан процес на измерване се използва не само да намерите в района, но и за определянето на района. А именно, помислете за мозайка, в която дължината на страните на квадратите са равни на 1/10 к. Да предположим, че F съдържа фигура състои от квадрати AK тази мозайка и съдържа в фигура съставена от ВК такива квадрати (например, по-горе имаме а2 = 1716, b2 = 1,925). След това можем да кажем, че AK / 10 2k е стойността на фигура F с липсата на пространство и BK / 10 2k - в изобилие. Неограничен увеличаване к можем да видим границите на: (F) =. (F) =. първият от които се нарича дъно, а вторият - най-горната част на фигурата F.

Ако формата е такава, че тези граници съвпадат с. цифра F е Квадратура, т.е. (F) = (F). Тази стойност се счита извън зоната нарича фигура F и е означена с S (F), т.е.

Лесно е да се даде пример за фигурите, в които горните и долните зони не са едни и същи. За тази цел в областта на квадратно напречно премахване 1, която зона е по-малко от 1/4 (фиг. 2а). След това във всяка от четирите останалите квадрати да бъдат заличени от кръста, така че сумата от площите на всички четири кръстоски е по-малко от 1/8 (Фиг. 2Ь). След това извадете 16 кръстове с обща площ от по-малко от 1/16, и т.н. Цифра, която остава след отстраняване на безкраен брой кръстоски, означен с Р. Имайте предвид, че общата площ на всички дистанционното пресича по-малко от 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + 1/2 п + ..., т.е. по-малко от 1/2.

Следователно, останалата фигура Q не може да бъде поставен в областта на фигура 1/2, т.е. фигура Q горната зона е по-голяма от 1/2. В същото време фигурата на Q не съдържа квадрат (без значение колко малък може да е), а защото долната част на фигурата е нула. Така горната и долната част на фигурата не съвпадат и следователно фигура Q nekvadriruema на.

Този пример показва, че концепцията за пространство не е приложим за всяка фигура. Въпреки това, може да се покаже, че всеки полигон е squarability фигура. По същия начин, всяка изпъкнала форма (например, кръг) squarable. И като цяло класа squarable фигури е доста обширна.

Сега може да се каже, че пространството измерване S е функция определено от класа на всички фигури и squarable получаване числови стойности, т.е. Площ S (F) на всяка фигура F е неотрицателно номер (единица площ поети фиксирана).

Използвайки тази област дефиниция (чрез paletok) може да докаже редица свойства квадратни ...

Като цяло, трябва да се отбележи, че при използване на палети в училище е полезно да се помни следното:

Мярка площ чрез мозайка е пряка (незабавно) измерване, при което желаната стойност на количеството се определя чрез сравняване със съответния модул. Площ измерване чрез измерване на дължините на сегментите и като се използва индиректно формули. Смяна на директните сравнения непряко сравнение е значително постижение на човешката мисъл и е един от най-старите математически абстракции. Няма причина да се предположи, че тази абстракция е лесно да се даде на студентите, неразбиране на факта, значително усложнява допълнително изучаване на теорията на зони за измерване (т.е. най-малко означава квадрат правоъгълник проучване формулата за случаите, когато широчината и дължината не може да бъде изразено от естествени числа). В крайна сметка, преди да успея да се изчисли дължината на сегментите за всякакви формули учим директни сегменти измерване и по този начин се даде възможност за тестване на изчисление чрез пряко измерване. В "квадрат" на тема този начален етап съответства точно да работи с палитри.

В хода на геометрията на ограниченото пространство основно училище намиране на форми с праволинейна или кръгли контури и неговите части. На практика, обаче, могат да се срещнат на фигурата с произволен контур и раздразнен, че основната завършил училище е неподготвен за решаването на съответния проблем.