Комбинации (комбинаторика) - избор на подгрупи, независимо от реда

Понякога правим избор от снимачната площадка, без оглед на ред. Този избор се нарича комбинация. Ако играете карти, например, вие знаете, че в повечето случаи, реда, по който държите карта, тя не е от значение.

Пример 1: намерите всички комбинации от 3 букви взети от комплект от 5 букви.

Когато открием множеството на всички комбинации от предмети, 5, ако вземем обекта 3 в даден момент, ние откриваме всички 3 клетки подкласове. В този случай, от порядъка на предмети, не се счита. След това,
Той призова от една и съща както.

подмножество
Зададената А е подгрупа на В и А означава, че подмножество и / или същата като В, ако всеки елемент е елемент В.

Елементи не подредени подгрупа. При разглеждане на комбинацията, не се счита в ред!

съчетание
Комбинация, съдържаща к обекти е подгрупа, състояща се от к обекти.

Ние искаме да се напише формулата за изчисляване на броя на комбинациите от п обекти, ако се приемат до обектите едновременно.

комбинация наименование
Броят на комбинации от п обекти, ако се приемат до съоръженията в същото време, обозначена н Ck.

Ние наричаме н Ckchislo комбинации. Ние искаме да се напише обща формула за п Ck за всеки к ≤ п. Първо, това е вярно, че п = 1 Cn, защото комплект с п елементи има само една подгрупа от елементи N, си е поставил. Второ, п С1 = N, защото множество от п елементи има само подгрупи на п 1 във всеки елемент. Накрая, п С0 = 1, тъй като комплект с п елементи е само една подгрупа с елементи 0, което означава, че празен комплект ∅. За да се вземат предвид други комбинации, нека се върнем към примера 1, а броят на комбинациите е сравним с броя на пермутации.

Имайте предвид, че всяка комбинация от 3 компонента е 6 или 3. пермутации.
3! С3 = 5 • 60 5 = P3 = 5 • 4 • 3
така
.
Като цяло, броят на комбинациите от к елементи, избран от N обекти. п Ск пъти пермутации на тези елементи к. Тя трябва да е равен на броя на пермутации на наш елементи от к елемента:
к! .n Ck = п Pk
п Ck = п PK / к!
п Ck = (1 / к!). п Pk
п = Ck

Комбинации от к обекти от п обекти
Общият брой комбинации от елементи от к п обекти е обозначен с п Ck. определя
(1) п = Ск,
или
(2) п = Ck

Друг тип нотация за п СК е биномно коефициент. Причината за това терминология ще стане ясно по-долу.

Пример 2 Изчисли от формула (1) и (2).

Имайте предвид, че това не означава, п / к.

Пример 3 Изчисли ф.

Разтвор Ние използваме формула (1) за първия операнд и формула (2) за втория. след това
,
с използване на (1), и
,
ispolzuya формула (2).

Моля, имайте предвид, че
,
Пример 2 и с използване на резултата ни дава
.
Това означава, че номер 5 елемент подмножество от множество елементи 7 е същият като броя на 2-клетъчни подгрупи от 7 елементи. Когато 5 елемента, избрани от комплекта, те не включват елемент 2. За да видите това, помислете комплекта:

Като цяло, ние имаме следното. Този резултат предоставя алтернативен метод за изчисляване на комбинацията.

Една подгрупа на к и размера на размер
и п Ck = п Cn-к
Броят на подгрупи на множество размери от п обекти е равен на броя на подгрупи на размер п -. Броят на комбинации от к с предмета на множеството п обекти е равен на броя на комбинациите от п обекти, взети едновременно.

Сега ние ще се решат проблемите с комбинациите.

ПРИМЕР 4 Мичиган лотария. Продължаващата Michigan два пъти седмично WINFALL лотария на има джакпот, който е най-малко равна на 2 долара млн. Долара. Per долар играч може да заличи всякакви 6 числа от 1 до 49. Ако тези номера съвпадат с тези, които попадат по време печели лотария играч. (Източник: Michigan Lottery)
а) Колко възможни комбинации от 6 числа в лотарията?
б) Да предположим, че 10 минути да изляза да си купи лотариен билет и зачеркнете 6 цифри. Колко лотария билети можете да си купите за 4 дни?
в) Колко хора ще трябва да наеме за 4 дни, за да си купят билети за всички възможни комбинации, и бъдете сигурни, че ще победи?

решение
а) Не е поредни номера. Можете зачертаете 6 числа от 1 до 49. След това, броят на възможните комбинации е

б) На първо място, ние се изчисли броят на минутите в 4 дни -x:
4 дни • (24 часа / 1 ден). (60 мин / ч 1) = 5760 минути.
След това можете да си купите 576 билети за 4 дни.
в) Ще трябва да наемат 13983816/576, или около 24 278 души, за да си купят билети за всички възможни комбинации за гарантирана печалба. (При условие, че човек може да си купят билети за 24 часа.)

комисиите Пример 5. Брой могат да бъдат образувани от групи 5 и 7 управители Сенат ако всяка комисия се състои от 3 управители и 4 Сенат?

Три управител разтвор може да бъде избран C3 пътеки 5 и 4, може да бъде избран сенатор 7 С4 начини. Ако използваме основно метода на преброяване, ние откриваме, че броят на възможно комисия, така или иначе