Закон за големите числа 2

1) Принципът на практическата невъзможност за невероятни събития. Формулировката на закона за големите числа.

2) Лема Марков. Неравенството теорема и Chebyshev. Теорема на Бернули и Поасон. Лаплас теорема.

3) Централно Limit теорема.

1) Беше отбелязано по-рано, не е възможно да се предскаже кой от възможните стойности на случайната променлива ще вземе, тъй като не можем да се вземат предвид всички обстоятелства, които влияят на събитието. Въпреки това, в някои случаи, може да се посочи вероятността за такова събитие. Опитът показва, че събитията, вероятността от възникване е ниско, рядко се случи, и събития с вероятност близо до единство, е почти сигурно, за да се случи.

Принципът се състои в това, че е малко вероятно събитие, на практика, тя се счита за невъзможно, се нарича "принцип на практическата невъзможност за невероятни събития." Събития, настъпващи с вероятности, в непосредствена близост до единство, които се считат за практически значим (на принципа практическа сигурност). Без значение колко малък или колко голяма трябва да е вероятността на събитието зависи от практическото прилагане на значението на това събитие.

Следователно, една от основните задачи на теорията на вероятностите е за създаването на закони произход е близка до единство. Тези модели трябва да отчитат комбинираното влияние на голям брой независимо (или слабо зависими) действащи фактори. В допълнение, всеки поотделно фактор се характеризира с лек удар. Всяко предложение, което създава законите споменати по-горе, се нарича закона за големите числа. Закон за големите числа, по дефиниция, професор АЙ Khinchin, трябва да споменем, общия принцип, чрез комбинираното действие на множество фактори води в някои много общи условия, резултатът е почти не зависи от случайността.

Някои от конкретните условия, при които законът за големите числа, са изброени в теорема Chebyshev е, Бернули, Поасон и Ляпунов.

2) Лема Марков. Неравенството теорема и Chebyshev. Теорема на Бернули и Поасон.

Лема 3.3.1 (Марков лема). Да - случайни величини отнеме само не-отрицателни стойности, а има това, което очакваше. След това за всеки един от следните неравенства:

Неравенства (3.3.1) и (3.3.2) се нарича неравенствата Марков.

Помислете сега случайната променлива. като средна стойност и дисперсия. По наша оценка на вероятността на събитието се крие във факта, че отклонението няма да превишава абсолютната стойност на положително число. Квалификация на вероятностите каза, получени с помощта на неравенството Chebyshev му.

3.3.1 Теорема (неравенство Chebyshev му). Вероятността случайна променлива отклонение от очакването си в абсолютна стойност по-малка от положителния брой. не по-малко от. т.е.

Неравенството (3.3.3), се нарича неравенство Chebyshev.

Забележка 3.3.1. неравенство Chebyshev може да бъде написано в друга форма:

Под формата (3.3.3), тя определя долната граница на вероятностите събитията, но във формата (3.3.4) - на върха.

Помислете за един достатъчно голям брой независими случайни величини. Ако тяхната дисперсия ограничен брой. на събитието, което се състои в това, че отклонението на средното аритметично на тези произволни стойности от тяхното средно аритметично на очакванията е абсолютната стойност на произволно малък, е почти сигурно. Това предположение, свързано със закона за големите числа, се оказа PL Chebyshev.

3.3.2 Теорема (Теорема на Chebyshev му). Ако случайни променливи са независими и има номер. че за всички номера,

т.е. средноаритметичната стойност на тези случайни величини клони в вероятност за средноаритметичното на техните математически очаквания:

От Chebyshev теорема твърдение се състои във факта, че средната аритметична стойност на достатъчно голям брой независими случайни величини с краен разрез, загуба на случаен принцип и детерминирана количество става.

Пример 3.3.1. Дисперсия на всеки от 6250 независими случайни величини не надвишава 9. процент вероятност, че абсолютната стойност на отклонението на средното аритметично на тези случайни величини от средната аритметична стойност на техните математически очаквания не надвишава 0,6.

Решение. Според теоремата на Chebyshev е, необходимият вероятността е не по-малко. Съгласно условията на проблема. , , Ето защо.

Трябва да отбележим някои важни специални случаи на Теорема Chebyshev.

3.3.3 Теорема (Теорема на Бернули). Нека направи независими проучвания, във всеки от които вероятността от възникване на събитие е постоянна и равна. След това за всеки номер,

където - честота на поява на събитието.

От това следва, че

Пример 3.3.2. Предприятието, което произвежда кинескопи, всички продукти могат да издържат 0.8 гаранционния период. При вероятност, по-голяма от 0,95, намерете границите, което е делът на кинескопи, които могат да издържат на гаранционния период, Party 8000 картини тръби.

Решение. Нанесете теорема на Бернули за. 0.95, а.

Ние замести в половете;

Неравенство получи 0.78 0.82.

Забележка 3.3.2. теоремата на Бернули се отнася до случая, когато всички изпитвания, проведени при същите условия, както и вероятността от настъпване на събитие във всички тях е същото и е равна на

За по-общия случай, когато вероятностите са различни, се прилага теоремата на Поасон.

3.3.4 Теорема (Теорема на Поасон). Ако независими проучвания вероятността от възникване на събитие в тия пробен. на

Пример 3.3.3. Произвежда 900 независими проучвания с 450 от тези тестове, вероятността от събития е 2/3, 200 - 160 0.5 - 0.3 и 90 - 0.4. Намери изчислите вероятността честота, която се отклонява събитие в магнитуд от средното за не повече от 0,1 вероятност.

Решение. Ние използваме най-Поасон теорема. И ние намираме:

Заместването на дясната страна на неравенството

стойности. , и. Получаваме 0.95.

Забележка 3.3.3. теорема на Бернули е специален случай на теоремата на Поасон.

В действителност, ако вероятността от настъпване на събитие във всеки процес е постоянна. след това.

Забележка 3.3.4. В случаите, когато вероятността от възникване на събитие при всяко проучване е неизвестен, горната граница на дисперсията, като 1/4, т.е.

теорема Chebyshev е, Бернули, Поасон определят по-ниска граница на вероятност, че това често не е достатъчно. В някои случаи е достатъчно важно да се знае точната стойност на вероятността. Отговаря на това изискване, така наречените гранични теореми на закона за големите числа.

Теорема 3.3.5 (Local Лаплас теорема). Ако вероятността от настъпване на събитието във всяка една от независими проучвания, се равнява на една и съща константа. вероятността, че всички тези проучвания, събитието ще се появи само веднъж, е приблизително изразена чрез формулата

Забележка 3.3.5. Функция Таблица (3.3.12) към положителни стойности, показани в допълнение Б, представляват отрицателен паритет функция т.е.

3.3.6 теорема (Лаплас Integral теорема). Ако вероятността от настъпване на събитието във всяка една от независими проучвания, се равнява на една и съща константа. вероятността, че всички тези проучвания, събитието ще се появи най-малко веднъж или повече пъти, е приблизително определя по формулата

Формула (3.3.13) могат да бъдат написани в друга форма:

където - функция на Лаплас, т.е.

и както е определено от уравненията (3.3.15).

Забележка 3.3.6. Таблица Лаплас функция за положителни стойности се отнасят до бележката; за стойности показват, че да се вземат предвид негативната странно функция. т.е.

Забележка 3.3.7. Лаплас формули за приближение (3.3.11) и (3.3.16) са на практика за всеки случай. Ако. тези формули доведат до големи грешки.

В съответствие с това е достатъчно точен израз на теоремата на Бернули е теорема на Лаплас неразделна. Асимптотичната формула за теоремата Chebyshev оказа си зеница AM Ляпунов. Ето Ляпунов теорема, без доказателства.

3) Централно Limit теорема.

3.3.7 Теорема (Теорема на Ляпунов е). Помислете за независими случайни величини. отговаря на следните условия:

а) Всички стойности са определени очаквания и крайните различия;

б) нито една от стойностите не се освобождава рязко от другите в техните стойности.

Тогава при неограничен растеж на разпределението на случайната променлива е близо до нормалната закона.

По този начин, ние имаме следната асимтотична уравнение:

Пример 3.3.4. Вариацията на всеки един от 400-те независими случайни променливи е равен на 25. Намерете вероятността, че абсолютната стойност на отклонението на средната аритметична стойност на случайни величини от средната аритметична стойност на техните математически очаквания, няма да надвишава 0,5.

Решение. теорема Ляпунов е приложимо. Според проблема. , следователно, 0.5. Заместването на тези данни във формулата. Ние се получи. къде.

Пример 3.3.5. Средното тегло на картофен клубен е 120 грам Какво е вероятността, че произволно избран картофен клубен тежи не повече от 360 грама?

Решение. Желаният вероятност оценка с формула (3.3.1). Случайна променлива - тегло на грудка - означен. При условие. , Използването на неравенството (3.3.1), получаваме

Пример 3.3.6. Средният брой на млади професионалисти ежегодно на завършил училище на 200 души. Оценка на вероятността, че не повече от 220 млади специалисти ще бъдат изпратени да завършат училище в дадена година.

Решение. В този пример. , Прилагайки (3.3.1), ние откриваме

Пример 3.3.7. Оценка на вероятността, че 3600 независим жребия на един зар брой повторения на 6 точки е не по-малко от 900.

Решение. Да - на броя на повторения на 6 точки при 3600 хвърляния, а след това. Ние използваме неравенството (3.3.2), получаваме

Пример 3.3.8. Случайният променлива е дисперсия. Каква е вероятността, че една случайна променлива се различава от повече от 0,1?

Решение. На първия неравенството Chebyshev

Пример 3.3.9. За случайна променлива е известен дисперсия и неравенството. Намерете стойността на.

Решение. Съгласно формула (3.3.3), получаваме

От тези две неравенства, че

Пример 3.3.10. Средната стойност на дължини на части е 50 см и дисперсията е 0.1. Оценка на вероятността, че артикулът ще бъде направен по дължината му не е по-малко от 49,5 см и не повече от 50,5 см.

Решение. От тук. След това състоянието. където случаен стойност представлява възможно дължината на елементите, се дава чрез изваждане на броя на формата.

Прилагайки (3.3.3) и за случая. получаваме:

Пример 3.3.11. Кълняемостта на семената на културата е 0.75. Оцени вероятността от засадени 1000 семена покарал брой ще бъде между 700 и 800 включително.

Решение. В тази задача. следователно, граничните стойности на случайна променлива са симетрични относително.

Ето защо, от неравенство може да отиде на неравенството

и това съвпада с лявата страна на (3.3.3), когато. Стойност се изчислява чрез формулата

Като се има предвид, че

Качваме се в дясната страна на (3.3.3):

Пример 3.3.12. Вероятност за производство на нестандартни части в някои условия на процеса е 0.1. Оценка на вероятността, че броят на нестандартни части между 10 000 ще бъдат сключени в диапазона 950-1030, включително.

Решение. Броят на нестандартни детайли в тази задача е случайна променлива. разпределено в рамките на две думи закона. В съответствие с формулите

Поради това, границите на допустимите стойности на случайна променлива не е симетрична по отношение на очакванията, тъй като

наляво граница по-малко от 1000 - 950 = 50,

и дясната граница повече от 1030 - 1000 = 30.

Следователно, за да се прилага неравенството Chebyshev да се оцени вероятността за това събитие не може да бъде.

За да използвате неравенството Chebyshev е станало възможно, дясната граница трябва да бъде по-голям от очакванията на 50, т.е. трябва да е равно на 1050. Като се има предвид, че двойното неравенство

Ние прилагаме неравенството (3.3.3) и когато:

Пример 3.3.13. Виж вероятността, че честотата на настъпване на шест независими 10000 хвърля на матрица се отклонява от вероятността за възникване на шест по модул по-малко от 0,01.

Решение. Ние използваме неравенството

В този случай. , , следователно

Пример 3.3.14. Когато щамповане плочите от пластмаса брак е 3%. Намерете вероятността, че докладите от проверките парти 1000 намерени никаква разлика от фиксиран процент на брак е по-малко от 1%.

Решение. От условията на проблема, от това следва, че. , , ,

В съответствие с формула

По този начин, се изисква вероятността.

Пример 3.3.15. За да се определи колко да направят измервания на напречните сечения на дървета в голяма площ на средния диаметър на дървото се различава от истинската стойност е не повече от 2 см, с вероятност не по-малко от 0,95. Стандартното отклонение на напречното сечение на дърветата не надвишава 10 см и измерванията се извършват без грешка.

Решение. Предполагаме, дървета избор за такива измервания, които могат да се считат за резултатите от измерванията на независими случайни величини. Ние означаваме с резултатите от измерване на напречното сечение ти дървото. Според проблема

Вярвайки в неравенството

Следователно, достатъчно е да се извърши измерване на напречното сечение 500 на дърветата.

Пример 3.3.16. Кълняемостта на семената на някои растения е 70%. Намерете вероятността на семена за посев 10000 отклонение част от покарал семена от вероятността, че всеки един от тях ще се повишат, няма да превишава абсолютната стойност от 0,01.

Решение. Използване формула (3.3.7)

От условието следва, че. , , а.

В съответствие с формула ние получаваме

Пример 3.3.17. Вероятността за поява на събитие във всяка от 900-те независими проучвания равни. Намерете вероятността дадено събитие да се случи: а) 750 пъти; б) 710 пъти.

Решение. От условието следва, че. затова; в първия случай. във втория случай.

Тъй като. можете да използвате формулата (3.3.10) или (3.3.11) - (3.3.13).

Формула (3.3.12) определят:

За стойности на масата за функция (3.3.13) намираме

Според (3.3.11), ние се получи необходимата вероятността

По същия начин, ние откриваме, вероятността за втория случай, като се вземат предвид функцията за паритет (3.3.13):

Пример 3.3.18. Колко пъти с вероятност 0.0484 можем да очакваме появата на събития в 100 независими проучвания, ако вероятността от възникването му в отделен процес е 0.5?

Решение. Използване формула (3.3.10), от състоянието, че. , , ; да бъдат определени.

Формула (3.3.12), ние откриваме:

Формула (3.3.11) под формата

От функционални стойности на масата се определя от:

Заместването на тази стойност в експресията. получавам

Тъй - цяло число, след това.

Пример 3.3.19. Вероятността за поява на събитие във всяка от 900-те независими проучвания равни. Намерете вероятността дадено събитие да се случи най-малко 710 пъти, но не повече от 740 пъти.

Решение. При условие. , , , така.

Според формули (3.3.15) намираме

Съгласно таблицата на функция на Лаплас (вж. Заявка) дава нечетни функции определят

В съответствие с формула (3.3.16), ние се получи желаният вероятността

Пример 3.3.20. Вероятността, че луковицата произведени съгласно намотка е дефектна, е 0,02. Да контролира избрани на случаен принцип в 1000 крушки. Изчислете вероятността, че честотата на дефектни луковици в пробата се различава от вероятността от 0,02 на по-малко от 0,01.

Решение. Ние означаваме с - броят на дефектните крушки в извадката. Ние трябва да се оцени вероятността от неравенството

Следователно ние откриваме, в това, което граничи съдържат цифри: