Условни очаквания
Умът е не само знанието, но и способността за прилагане на знанията в практиката. (Аристотел)
Условни очаквания и условни вероятности са ключовите понятия на теорията на вероятностите, в тези условия фундаменталната разлика между дисциплината на теория на действие (преди известно време имаше едно мнение, че теорията на вероятностите е клон на мярка теория, която, разбира се, не е вярно).
Като цяло, условните вероятности на разположение на изследователите е изключително гъвкав език, е много полезно за описване на много случайни явления.
В нашата презентация, ние използваме условна вероятност отлично първата книга, AN Shiryaev, "вероятно", а след това даде различни примери за приложение.
Кулминацията на тези понятия е условно очакването по отношение на сигма-алгебра. първо ще разгледаме условните очакванията по отношение на дялове, които са една стъпка по посока на общата концепция на вероятностите по отношение на сигма-алгебра.
Нека (, А, Р) - краен вероятност пространство и D = 1. ..., Dk> - дял пространство резултати (Di A. P (Di)> 0 и = 1, ... к и D1 + ... + Dk = ...). Да предположим, че освен това, A - събитие от А и Р (A | Di) - условна вероятност на събитие във връзка с Ди събития.
С набор от условни вероятности
получаване от атоми дял Di стойности P (A | Di). За да се подчертае, че тази случайна променлива е свързан с дял D, определената P (A | D) или Р (А | D) (w) и се нарича условната вероятност на събитие по отношение на дяла D.
Тази концепция, както и въведени в по-общи думи на условните вероятности по отношение на Sigma-алгебри да играе важна роля в теорията на вероятностите, че постепенно ще се отвори следната презентация.
Нека разгледаме най-простите свойства на условните вероятности:
ако D - тривиално преграда, състояща се от един комплект, тогава
Определяне на условна вероятност P (A | D) като случайна променлива дава възможност да се говори за това, което очакваше, че може да се чете с помощта на компактен начин за записване на общата вероятност формула:
след това по дефиниция очакването
Сега нека = (w) - случайна стойности на променливите взимайки със положителни вероятности y1. .... ук:
където Dj =
условна вероятност Р (А |) ще бъде означен P (A |) или P (A |) (w), и се нарича условната вероятност на събитие по отношение на случайна променлива.
Нека също така и от P (A | = YJ) разбере условна вероятност P (A | Dj), където Dj = J>.
По същия начин, ако 1. 2. .... м - случайни величини, и - на дяла, генерирани от стойността на 1. 2. .... м атома
определения P (A |. 1. 2. ... м) и се нарича условната вероятност на събитие А по отношение на случайните променливи 1. 2. .... м.
Пример 1. Да предположим, че - две независими и еднакво разпределени случайни променливи, всеки като стойностите 1 и 0 с вероятност р и р. Нека да се намери за к = 0,1,2 условната вероятност P (+ = |) събитията A = роднина.
За тази цел, първо обърнете внимание на следната обща полезна факт: ако е - две независими случайни величини с ценностите на х и у, съответно, а след това
Р (+ = Z | = у) = Р (+ у = Z). (5)
С помощта на тази формула за въпросния случай, ние откриваме, че
или това, което е едно и също,
Да предположим = (W) - случайна променлива ценности в комплекта X = л>:
и D =
Точно както за вероятности P (Ай), J-1, .... л очакване се определя
и чрез условни вероятности P (Ай | D), к = 1, .... L е естествено да се определи условно очакването на случайна променлива по отношение на дял D, обозначена М (| D), или М (| D) (w), Формула
Според тази дефиниция, условно очакването на M (| D) (w) е случайна величина, домакин на всички елементарни събития W. принадлежащи към същия атом Ди една и съща стойност
Това наблюдение показва, че определение за условен очакване M (| D) може да се приближи по различен начин. Именно, първо определи М (| ди) - условие очакване на х по отношение на формула Di събития
и след това пуснати на определението
Също така е полезно да се отбележи, че стойностите на M (| D) и M (| D) са независими от метода на представляващ случайна променлива.
По-нататък се има предвид свойствата на условни очаквания следват директно от дефиницията:
М (а + б | D) = АМ (| D) + BM (| D), а, Ь - константа; (12)
М (С | D) = С, С - константа; (14)
M (| D) = P (A | D). (15)
Последното уравнение показва, по-специално, че свойствата на условните вероятности могат да бъдат получени директно от свойствата на условни очаквания.
Друго важно свойство обобщава общата вероятност формула (5):
Достатъчно е да се отбележи, че съгласно точка (5),
Нека D =
където ай може да бъде равно. С други думи, на случайна променлива D-измерим единствено и само ако е необходимо, за постоянни стойности на D дяла на атоми.
Пример 2. Ако D - тривиално дял, D = <>, на D-измерима, ако и само ако = С, където С - постоянна. Всяка случайна променлива може да се измери по отношение на разпределението.
Да приемем, че е случайна променлива D-измерими. след това
M (| D) = М (| D) (17)
M (| D) = (М (|) =). (18)
За да се докаже (17) ние се отбележи, че ако
От друга страна, имайки предвид, че ние получаваме
заедно с (19) доказва, (17).
Установяваме друго важно свойство на очакванията. Нека D1 и D2 - два дяла, с D1 D2 (D2 "фина" D1). след това
За да докаже това, се предполага, че
След това, ако
и достатъчно, за да се установи, че
което доказва (21).
В случая, когато дял D се генерира от случайни променливи условно очакване е обозначен с М (|. 1. ... к) или М (|. 1. ... к) (w). и нарече условно очакването по отношение на х 1 .... к.
Директно от определението на M (|) следва, че ако и са независими,
От (18) също така следва, че
Собственост (22) признава следното обобщение.
Нека случайна стойност е независим от дял г (т.е., за всяка стойност на ди D произволно и независим). след това
(20) като специален случай ние получаваме следната полезна формула:
Пример 3. За случайни променливи и обсъдени в Пример 1, ние откриваме, М (+ |). С (22) и (23) М (+ |) = М + = р +.
Този резултат може да се получи като се излезе от (8):
Пример 4. Да - независими и идентично разпределени случайни променливи. след това
Всъщност, като се предполага, че за простота вземат стойностите 1, 2, .... т, ние откриваме, че (1 к т, 2 I 2М)
Това доказва, първото равенство в (26). За втората, достатъчно е да се отбележи, че
Всеки дял D =
По същия начин и обратно, всеки краен алгебра Б от подгрупи се генерира от дял D (В = (D)). По този начин, между алгебра и крайните космически дялове еднозначна.
Този факт трябва да се има предвид във връзка с по-късната въвежда понятието условен очаквания по отношение на конкретни групи от системи, така наречените алгебри.
В случая на ограничени пространства понятия за алгебра и алгебри съвпадат. Оказва се, че ако Б - някои алгебра, а след това се прилага впоследствие условно очакване на M (| Б) от случайна променлива по отношение на алгебра B точно същата като М (| D) - очакване х спрямо дял D така, че B = (D ).
В този смисъл, в случая на ограничени пространства в бъдеще няма да се прави разлика между M (| B) и M (| D), осъзнавайки, точно навреме, че M (| B) по дефиниция е M (| D).