Reshenie цифров uravneny втори stepeni

Квадратно уравнение.

§ 1. Reshenie цифров uravneny втори stepeni.

Uravneniem втора степен или квадратно уравнение nazyvaetsya vsyakoe uravnenie, kotoroe posredstvom preobrazovany, zamenyayuschih си друга, го sovmestnymi uravneniyami, mozhet се privedeno формата ос 2 + BX + С = 0.

Poslednee uravnenie nazyvaetsya на б ф съм и с изглед към площад uravneny. Kolichestvo добре. б и в се наричат ​​koeffitsientamn уравнение. Ако те koeffitsienty vyrazheny фракционна kolichestvo, те могат да zamenit tselymi kolichestvo. Коефициентът винаги може да се счита polozhitelnym. Ако случайно koeffitsient с нула или б гарван нула, така poluchaetsya nazyvaemoe nepolnoe kvadratnoe уравнение. Reshit kvadratnoe uravnenie означава да се намери TE-стойност х да изготви dannoe uravaenie в tozhdestvo. От стойност или Корней vsyakoe kvadratnoe uravnenie imeet две.

За resheniya nepolnogo uravneniya брадва 2 + BX = 0 извлече достатъчно в първата част на щепселни скоби х. Получаване на х (брадва + б) = 0. От това може да се види, че уравнение може udovletvorit два начина: или удар х = 0. otchego obraschaetsya нула pervoy първия фактор на уравнението, или чрез създаване х = - б /. otchego изчезва втория множител. И в двата случая тези случаи proizvedenie Всичко ще бъде равна на втората част на uravneniya, т.е. е нула, и sledovatelno, uravnenie ще udovletvoreno.

Имайки vtoroe nepolnoe uravnenie брадва 2 + С = 0. Различаваме два sduchaya когато koeffitsieyat с otritsatelen и когато той polozhitelen. Да предположим, например. има предвид, че uravnenie 4x 2 -7 = 0. Като се има предвид първата част, разликата от квадратите, тя може да бъде разширена в proizvedenie. Получаване на (2х -√7) (2х + √7) = 0. Въпреки това, продуктът може да бъде нула, когато само един от факторите, е нула. Следователно, настоящото uravnenie sovme-schaet в sebe две корени udovletvoryayuschie освен две уравнения от първа степен -√7 = 0 2х и 2х + √7 = 0. Следователно корени са x1 = √ 7/2 и х2 = - √ 7/2

Нека teper че даден uravnenie 3x 2 + 10 = 0. Pervaya част от тапата може да се разшири в proizvedenie от въображаеми количества. Deystvitelno тъй като аз 2 = -1, е възможно да се напише в dannoe uravnenie пребиваване 3x 2 - 10i 2 = 0. Posle това, това първата част, като разлика от квадрати, Imeem (√3 • х -√10 • I) (√3 • х + √10 • I) = 0. където се вижда, че dannoe уравнение се разлага на две

и следователно осигурява две въображаеми корени

Reshit nepolnye квадратно уравнение:

Разтвор пълно квадратен uravleniya брадва 2 + BX + С = 0 takzhe се състои в разширяване на първата част на щепселни множители. Тя preobrazovavie значително uproschaetsya е sluchae когато коефициентът на най-високата chlene единица. Zametim че vsyakoe kvadratnoe uravnenio може да бъде намалена до форма. Необходимо е само от страна на razdelit OBE koeffitsiept добре. Получаване х 2 + б / A + C / а = 0 Обикновено означен б / писмо р и / писмо р. причинявайки uravnenie pishetsya в пребиваване х 2 + пиксела + р = 0. Този вид уравнение nazyvaetsya privedennym. Неприятно, обаче, така конвертирате всяко uravnenie да privedennomu ум, защото poslednem коефициенти р и р-често са накъсана.

Помислете за конкретните видове уравнения с коефициенти tselymi.

Предвид uravnenie х 2 - 8x + 15 = 0. В част събиране pervoy nastoyaschago показва метод за разлагане trinomials втора степен proizvedenie. Този метод sleduet помня и primenyat Къде удобни, nizhesleduyuschih проблеми.

Ние сега се даде на друг метод, регистрирани повече от трудно, но като цяло bolee състояща preobrazovanii trehlena за малките средни квадрати разлика. Като х 2 за площада и 8x за udvoennoe работят лесно videt че preobrazovyaniya х 2 - 8x за да завърши на площада означава, че трябва да се добави втори квадрат, съществува още 16. С добавянето на този номер, за първата част от тази uravneniya и zatem же изваждане на броя на нея, представете си, пребиваване уравнение х 2 - 8x + 16-1 = 0 или пребиваване (х - 4) 2 -1 = 0. Posle Pervaya тази част лесно се разгражда в продукта, е получаване на (х - 3) (х - 5) = 0, и да намерят две корените на уравнението
3 и Х1 = Х2 = 5.

Понякога, като razlozhenie трином изисква vvedeniya въображаеми количества. По този начин, ако даден uravlenie х 2 + 2х + 7 = 0. след това превръщане на първите две членовете на формата на квадрат пълен, ние откриваме х 2 + 2х + 1 + 6 = 0 или (х + 1) 2 + 6 = 0. Но в първата част се получава вече не е разлика и сума. Аз забелязвам, че аз 2 = -1, напиши уравнението като
(X + 1) 2 - 6i 2 = 0, тогава се разлагат да образуват (1 + х 6 -√ • I) (х + 1 + √ 6 • I) = 0, и накрая тучни-Дим две въображаеми корените x1 = -1 + √ 6 • I и х2 = -1 - √ 6 • I

Ако член на фактор, съдържащ х в първа степен, има нечетен брой, а след това действието се усложнява от факта, че за да направи пълен площад е необходимо да въведете нов площад на дробно число. Напр. имаме:

Решете пълни квадратно уравнение:

Като имате за решаване на квадратно уравнение много често, неудобни за всеки отделен случай, направете трансформациите, чрез която квадратно уравнение се разделят на две уравнения от първа степен. Квадратно уравнение решени с обща формула. В хода на алгебра може да бъде доказано, че ако е уравнението на формата
брадва 2 + BX + С = 0. корените са изразени с формула

. т.е. корен на квадратното уравнение е общия среден коефициент приема с обратен знак плюс или минус корен квадратен от средния квадрат разлика между четворна скорост и продукти екстремни коефициенти, всички разделена на два пъти първото число.

В допълнение към тази формула е необходимо да се знае повече проста формула, съответстваща на случаите, когато средното съотношение е четно число. Ако уравнението има формата
αx 2 + 2βx + С = 0. след това. т.е. kvadratnago уравнение корен с дори на среден коефициент, равен на половината от средната коефициент, взето с обратен знак, плюс или минус корен квадратен от квадрата на разликата между тази половина и продукт на екстремни коефициенти, всички разделени от първия фактор.

Накрая, друго полезно да се отбележи простата формула, съответстваща на случая, когато първият коефициент е единство и средното е четно число. Ако уравнението има формата х 2 + 2βx + С = 0. тогава х = -β ± √β2-S. т.е. намалено корен на квадратно уравнение с дори на среден коефициент, равен на половината от втори коефициент, взето с обратен знак, плюс или минус корен квадратен от квадрата на разликата между половин и един трети фактор.

Всяка от горните формули не трябва да упражняват главно като трансформира уравнение на простата форма, при което всички коефициенти са цели числа и първият коефициент е положителен. Трябва да се помни, освен това, че се смятат за факторите, заедно с техните знаци.

Забележка. курсове алгебра показан друг формула. Ако уравнението има формата
х 2 + пиксела + р = 0. на

Тази формула е общия брой. защото всеки квадратно уравнение може да се превърне в призрак. Но за да се изчисли Корней споменато формула е неудобно, защото това води до deystvie tselymi възлиза на deystviyu с фракции.

С началните упражнения polezno koeffitsienty напишат своите признаци otdelno на писма oboznachayuschey neizvestnoe. За първи упражнение sleduet peredelat primery отново 21-40, uzhe по-горе.

Конвертиране в prosteyshemu ум reshit uravneniya: