Редица разпределение

В хода на раздела, посветен на основните понятия на теорията на вероятностите, ние въведохме много важна концепция за случайна променлива. Тук ние даваме по-нататъшното развитие на тази концепция и да посочи начина, по които случайни величини могат да бъдат описани и характеризирани.

Както вече споменахме, на случаен принцип количеството е величината, която е резултат от опит може да вземе една или друга стойност, не са известни предварително - кой. Ние също така се съгласи да се прави разлика между случаен velichinypreryvnogo (дискретно) и непрекъснат тип. Възможните стойности са прекъснати стойности могат да бъдат описани по-рано. Възможните стойности са постоянни стойности могат да бъдат изброени в предварително и непрекъснато пълни с определен интервал.

Примери за непрекъснати случайни величини:

1) на броя на случаи на емблемата с три хвърля монети (възможни стойности 0, 1, 2, 3);

2) честотата на поява на емблемата в същия експеримент (възможни стойности);

3) броя на неуспешни елементи в устройство се състои от пет елемента (възможни стойности 0, 1, 2, 3, 4, 5);

4) на броя на посещенията в равнина, която е достатъчна, за да се приведе от действие (възможни стойности 1, 2, 3, ..., п, ...);

5) брой самолети в битка въздух свален (възможни стойности 0, 1, 2, ..., N, където - общият брой на въздухоплавателни средства, включени в боя).

Примери за непрекъснати случайни величини:

1) абсциса (ордината) на точката на удара с удар;

2) разстоянието от точката на удряне на центъра на мишената;

3) височината на грешка м;

4) непрекъсната радио тръби.

В това, което следва, на случайни променливи обозначени с главни букви, както и техните възможни стойности - съответните малки букви. Например - броя на резултатите, в продължение на три изстрела; възможните стойности.

Помислете прекъсната случайна променлива с възможни стойности. Всяка една от тези стойности е възможно, но не значително, а променливата X може да отнеме всеки един от тях с определена вероятност. В резултат на стойност X ще се появи един от тези стойности, т.е. поява на една от цялата група на несъвместими събития:

Да означим вероятността от тези събития писмо р със съответните показатели:

Тъй като несъвместими събития (5.1.1) образуват пълен група,

т.е. сумата от вероятностите на всички възможни случайна променлива е равна на една от ценности. Тази обща veroyatnostkakim разпределена начин между отделните стойности. Случайна променлива е подробно описана от вероятностна гледна точка на това, ако ние искаме това разпределение, т.е. точно посочете кои вероятно има всяко събитие (5.1.1). По този начин ние се създаде така нареченият закон на разпределение на случайната променлива.

случаен закон ценности разпределение е всяко съотношение, за създаване на връзката между възможните стойности на случайната променлива и съответните вероятности. За случайна променлива, ние ще кажем, че то е предмет на този закон на разпределение.

Създаване на форма, в която може да се настрои разпределение закон прекъсната случайна променлива. Най-простата форма на задачата на закона е таблица, която описва възможните стойности znacheniyasluchaynoy и съответните вероятности:

Тази таблица ще се казва следващата случайна променлива.

За да се даде разпределение брой над пространствен поглед, често прибягват до нейното графично представяне: по абсцисата възможните стойности на случайната променлива, както и оста съгласува - тези Стойностите на вероятностите. За яснота, точките от данните са свързани чрез линия сегменти. Тази цифра се нарича разпределение многоъгълник (Фиг. 5.1.1). Многоъгълник разпределение, както и броя на разпределения напълно характеризира случайна променлива; това е форма на разпространение.

Понякога е удобно така наречената "механична" интерпретация на редица разпределение. Нека си представим, че някои маса, равна на единство, се разпределя по абсцисата, така че в отделни точки съответно се фокусира маса. След редица разпределение се тълкува като система от материални точки с някои маси разположени на оста х.

Помислете за няколко примера за непрекъснати случайни величини с законите за разпространение.

Пример 1 произвежда един опит, в които може да получите или не получават събитието. Вероятността за събитие е 0.3. Считаме произволна стойност - (. Т.е. случайни променливи характерни събитията стойност 1, ако тя се появи, и 0, ако не се показва) броя на случаи на събитие в този експеримент. Построяване на серията разпределение и полигона на разпределението.

Решение. Стойността има само две стойности, 0 и 1. Броят на стойностите на разпределение е:

Многоъгълник разпределение е показано на фиг. 5.1.2.

Пример 2 произвежда три стрелецът стрелба в мишена. Вероятността да ви удари целта с всеки удар е 0,4. За всеки удар вкара 5 точки стрелка. Построяване на серията разпределение на релефни точки.

Решение. Означаваме броя на нокаут точки. Възможните стойности на величината. ,

Вероятността от тези стойности са в повторение теорема експерименти:

Няколко разпределение на размера е както следва:

Многоъгълник разпределение е показано на фиг. 5.1.3.

Пример 3: вероятността за настъпване на събитие в един експеримент е. Тя произвежда редица независими проучвания, които продължават до първата поява на събитието. след което опитите се прекратяват. Случайна променлива - броят на проучвания, направени. Построяване на стойността на разпределение серия.

Решение. Възможните стойности на величината. 1, 2, 3, ... (теоретично те не са ограничени). За стойност прие стойност 1, е необходимо, че дадено събитие е настъпило в първия експеримент; вероятността за това е. За стойност взе стойност 2, първо трябва да се опита на събитието не се появи, а вторият - появи; вероятността за това е. къде. и т.н. Няколко разпределение на размера е както следва:

Първият пет ординатата разпределението на многоъгълник за случая, показан на фиг. 5.1.4.

ПРИМЕР 4 Стрелецът е стрелба в мишена за първия контакт, като четири боеприпаси касета. Veroyatnostpopadaniya при всеки удар е 0.6. Построяване на серията разпределение на боеприпаси, а останалите неизразходвани.

Решение. Случайна стойност - броят на неизразходваните патрони - има четири възможни стойности: 0, 1, 2 и 3. Вероятността тези стойности са съответно равни на:

Няколко разпределение на размера е както следва:

Многоъгълник разпределение е показано на фиг. 5.1.5.

Пример 5. Техническа устройство може да се използва при различни обстоятелства и в зависимост от това от време на време се изисква регулиране. За еднократно използване на устройството може да го случайно попаднат в благоприятно или неблагоприятно режим. устройство поддържа три приложения, без корекция в благоприятна режим; преди четвъртия тя трябва да се коригира. В режим в неравностойно положение, устройството трябва да бъде коригирана след първото му прилагане. Вероятността, че устройството ще получи благоприятно третиране - 0.7, което неблагоприятно - 0.3. Ние считаме, че случайно число - броят на заявленията, за да настроите устройството. Изграждане на броя на разпределение.

Решение. Случайна променлива има три възможни стойности: 1, 2 и 3. вероятността. е вероятността, че първото устройство приложение получава неблагоприятен режим, т.е. , За стойност стойност, приета 2, е необходимо, че първият апарат приложение има благоприятен режим, а при втората - в неблагоприятна; вероятността от това. Че размерът на приета стойност от 3, трябва да Първите два пъти на продукта е в благоприятно третиране (след третия път, когато той все още ще трябва да се коригира). Вероятността за това е.

Няколко разпределение на размера е както следва:

Многоъгълник разпределение е показано на фиг. 5.1.6.

В предходната п °, ние въведохме редица разпределение като (закон разпределение) изчерпателен отговор прекъсната случайна променлива. Въпреки това, тази функция не е универсален; то съществува само за непрекъснати случайни променливи. Лесно е да се види, че за nepreryvnoysluchaynoy стойност на тези характеристики, които не могат да бъдат построени. В действителност, постоянно случаен velichinaimeet безкраен брой възможни стойности, напълно запълване на определен период от време (така наречения "бройна набор"). Създайте таблица, която ще се изброят всички възможни стойности на случайна променлива, не е възможно. Освен това, както ще се види по-нататък, всяка отделна стойност е непрекъсната случайна променлива обикновено няма никакво ненулева вероятност. Следователно, за непрекъснат случайна променлива, няма серия на разпределение, в смисъл, че той съществува непостоянния стойност. Въпреки това, различните региони на възможните стойности на случайната променлива все още не са еднакво склонни, а има и "вероятностно разпределение" за непрекъснато количеството, макар и не в смисъл, както и прекъснати.

За да се определи количествено характеристиките на вероятностно разпределение е удобно да се използва едно невероятно събитие. и вероятността от събитие. където - някои от текущата променлива. Veroyatnostetogo събития очевидно зависи. е функция на. Това се нарича случайна функция променлива разпределение и е обозначен с:

Функцията за разпределение е наричан понякога кумулативната функция на разпределението или кумулативен закона разпределение.

функция на разпределение - най-универсалните характеристики на случайни величини. Тя съществува за всички случайни величини: как прекъснат и непрекъснат. Функцията за разпределение е напълно harakterizuetsluchaynuyu стойност от вероятностна гледна точка, т.е. Това е форма на разпространение.

Ние формулират някои общи свойства на функцията за разпределение.

1. Функцията за разпределение има намаляваща функция на тезата си, т.е. в.

2. На безкрайността на минус, функцията за разпределение е нула :.

3. На безкрайност плюс, функцията за разпределение е равен на една :.

Без да се дава строга доказателство за тези имоти, ние ги илюстрира със зрителни геометрична интерпретация. За това ние считаме, случайната променлива като случайна точка на оста х (фиг. 5.2.1), което е в резултат на опит може да вземе една или друга позиция. Тогава функцията за разпределение estveroyatnost че от произволно място в резултат на опита, ще получите най-лявата точка.

Ние ще се увеличи. т. е. да се премести на мястото на дясно по хоризонталната ос. Очевидно е, че вероятността от произволно място попада в ляво. не могат да бъдат намалени; Следователно, функцията за разпределение с увеличаване на намаление не могат.

За да сте сигурни, че. Ние за неопределено време ще се премести на мястото на ляво по хоризонталната ос. По този начин неволно вкарване на точки от ляво на границата става невъзможно събитие; естествено да се предположи, chtoveroyatnost това събитие клони към нула, т.е. ,

По същия начин, без ограничение чрез преместване на точката на дясно, виждаме, че. като събитието става значително по границата.

Графиката на функцията на разпределение в общия случай е nondecreasing функция графика (Фиг. 5.2.2), стойностите, които започват от 0 и отиват до 1, където в отделни точки може да има функцията скокове (прекъсвания).

Знаейки, броят на прекъснати разпределение на случайна променлива, ние можем лесно да се изгради тази функция разпределение стойност. В действителност,

където неравенството под знака на сумиране показва, че сумиране се удължава над всички стойности. които са по-малко.

Когато текущата променлива минава през някои от най-възможно големината на прекъснати ценности. функция разпределение се променя рязко, а големината на скока е равна на вероятността от тази стойност.

Пример 1 произвежда един опит, в които може да получите или не получават събитието. Вероятността за събитие е 0.3. Случайна променлива - броят на случаи на събитието в опита (истинската стойност на случаен събитие). За изграждането на неговата функция дистрибуция.

Решение. Няколко разпределение на размера е както следва:

Ние изграждане на стойността на функцията на разпределение:

Графиката на функцията на разпределение е показано на фиг. 5.2.3. Точките на прекъсване приема стойности, отбелязани с точки в фигурата (лява непрекъсната функция).

Пример 2. В условията на предходния пример 4 независими експерименти проведени. Построява функцията на разпределение на броя на случаи на събитието.

Решение. Означаваме - броят на случаи на събитието в четири експеримента. Тази стойност е с номер на разпределение

Ние се изгради случайна променлива функция:

Графиката на функцията на разпределение е показано на фиг. 5.2.4.

функцията на разпределение на всеки прекъснат случайна променлива винаги е прекъснат стъпка функция скача която настъпва в точка, съответстваща на възможните стойности на случаен стойност и ravnyveroyatnostyam тези стойности. Сумата от всички скокове на функцията е равна на един.

Тъй като броят на възможните стойности на случайната променлива и за намаляване на интервалите между скокове става по-голям, а самите скача - по-малко; крива на скоростта става по-гладка (Фигура 5.2.5.); Случайни променливи постепенно се приближават до непрекъсната стойност, и неговата функция разпределение - (Фигура 5.2.6.), За да непрекъсната функция.

На практика, обикновено непрекъсната функция на случайна променлива е функция, която е непрекъснато във всички точки, както е показано на фиг. 5.2.6. Въпреки това е възможно да се изгради примери на случайни променливи, чиито стойности са възможно постоянно изпълнен с определен интервал, но за които функцията на разпределение не винаги е непрекъсната и прекъснати изолирана точка (фиг. 5.2.7).

Такива произволни стойности, наречени смесени. Като пример за смесени стойности може да причини увреждане на площ, целевата отлагане бомба чийто радиус е равен на опустошителното на R (фиг. 5.2.8).

Стойностите на случайна променлива непрекъснато се запълни празнината между 0. се извършва при позиции бомба тип I и II, имат някои ограничен вероятност, и тези стойности съответстват на скокове на функцията на разпределение, а междинните стойности (тип позиция III) разпределение е непрекъснато. Друг пример на смесен случайна променлива - време Т непрекъсната работа на устройството при тест за време. функцията на разпределение на случайната променлива е непрекъсната навсякъде освен в точка Т.