Определяне на тригонометрични функции за всеки ъгъл от 0 до 180 °

Досега задължително, косинус и тангенс са определени само за острите ъгли. Сега ние ги определят за всеки ъгъл от 0 до 180 °. Да разгледаме окръжност в равнината XY с център на произход и радиус R (фигура 1).

Нека $ \ алфа $ - малък ъгъл, който радиус ОА положителен половин ос Ox. Нека х и у - координати на точка А. Стойностите на $ \ грях \ алфа \. \ Cos \ а \, \ и \ \ \ \ алфа $ за малък ъгъл $ \ алфа $ са изразени по отношение на координатите на точка А, а именно: $$ \ грях \ алфа = \ Frac \\ \ защото \ алфа = \ Фрак \\ \, \ алфа = \ Фрак $$ вече се определят стойностите на $ \ грях \ алфа \. \ Cos \ алфа \, \ и \ \ \ \ алфа \ текст<для любого угла> \ Алфа $. (За $ \, \ алфа $ ъгъл $ \ алфа = 90 ° $ изключени.) Имаме: $$ \ грях 90 ° = \ Frac = 1 \\ \ COS 90 ° = \ Frac = 0 \\ \ грях 180 ° = \ Frac = 0 \\ \ защото 180 ° = - \ Frac = -1 $$ Ако приемем, че припокриващите греди образуват ъгъл от 0 °, имаме: $$ \ грях 0 ° = 0 \, \,; \ Cos 0 ° = 1 \, \,; \, 0 ° = 0 $$

За всеки ъгъл. $ 0 ° <\alpha <180°, \sin (180° - \alpha) = \sin \alpha, \cos (180° - \alpha) = -\cos \alpha$.

Доказателство. Триъгълниците ОАВ и $ $ OA_1V_1 са по хипотенузата и малък ъгъл (фигура 2).

От равенството на триъгълници, от това следва, че $ AB = A_1B_1 $ т.е. $ Y = u_1; RH = $ OV_1 следователно -h_1 = $ х $. Следователно $$ \ грях (180 ° - \ алфа) = \ Frac = \ Frac = \ грях \ алфа \\ \ COS (180 ° - \ алфа) = \ Frac = - \ Frac = \ COS \ алфа $$ Разделяне termwise равенство $ \ грях (180 ° - \ алфа) = \ грях \ алфа $ равенството $ \ COS (180 ° - \ алфа) = - \ защото \ алфа $, ние получаваме $ \ (180 ° - \ алфа) = - \, \ алфа $.