Местна теорема на Лаплас - studopediya

Бернули-горе формула се получава, което позволява да се изчисли вероятността случай ще се появи в п изпитвания точно к пъти. В деривация, ние приехме, че вероятността от настъпване на събитие, при всяко проучване е постоянна. Лесно е да се види, че използването на формула на Бернули за големи стойности на N достатъчно силно. защото формулата изисква действие на огромни числа.

Например, ако п = 50, к = 30, р = 0,1. тогава вероятността за намиране на Р50 (30) е необходимо да се оцени експресията

където 50! = 30414093 • 10 57. 30! = 26525286 • 10 25. 20! = 24329020 • 10 11. Възможно е да се опрости изчисления, с помощта на специални таблици на логаритмите на факториелите. Въпреки това, по този начин е тромаво, а също така има значителен недостатък: таблици предоставят приблизителни стойности на логаритми, така че в процеса на натрупване на грешки изчислителни; в крайна сметка крайният резултат може да се различава значително от истинската стойност.

Въпросът естествено възниква: дали да се изчисли вероятността за интерес без да се прибягва до формула не Бернули? Оказва се, че можеш. Локално Лаплас теорема дава асимптотичната [1] на формула, която позволява да се намери приблизително вероятността от събития в rovnokraz п изпитвания, ако броят на изпитване е достатъчно голям.

Отбележете, че в конкретния случай, а именно, р = 1/2. асимптотична формула е намерено 1730 Moivre; през 1783 Лаплас обобщена формула Moivre за произволна стр. различна от 0 и 1. Поради това, теорема, която е под въпрос тук, понякога се нарича теорема на де Moivre-Лаплас.

Доказателството на местната Лаплас теорема е доста трудно, така че ние ще дадем само изявлението на теоремата и примери, онагледяващи използването му.

Местната Лаплас теорема. Ако вероятността р на възникване на събитие при всяко проучване е постоянна и е различен от нула и единица, вероятността PN на (к) на факта, че събитието ще се появи в н проучвания точно к пъти, е приблизително равна на (по-точно, толкова по-п) стойността на функцията

когато х = (А-NP) / √npq.

Има таблици, които, поставени стойности на функцията, съответстващ на положителните стойности на аргумента х (вж. Приложение 1). За отрицателни стойности на аргумента, са едни и същи таблици като функция # 966; (х) е още, т.е. .. # 966 (- х) = - # 966; (х).

Така че, вероятността това събитие А ще се появи в п независими проучвания точно к пъти, е приблизително равна на

Пример 2. Намерете вероятността събитие А се случва точно 80 пъти в 400 изпитания, ако вероятността от настъпване на събитието при всяко проучване е 0.2.

Решение. Чрез хипотеза, п = 400; к = 80; р = 0,2; Q = 0,8. Ние използваме формула асимптотичния Лаплас:

Изчисляваме задача определя от стойността на данните х:

х = (А-NP) / √npq = (80-400 * 0.2) / 8 = 0.

С искова молба, таблица 1 намираме # 966 (0) = 0.3989.

формула Бернули дава приблизително същия резултат (поради техните тежки изчисления са пропуснати):

Пример 3 убие цел вероятност стрелец с един изстрел р = 0.75. Намерете вероятността, че в 10-изстрел стрелецът удари целта 8 пъти.

Решение. Чрез хипотеза, п = 10; к = 8; р = 0.75; р = 0,25. Ние използваме формула асимптотичния Лаплас:

Изчисляваме задача определя от стойността на данните х:

С искова молба, таблица 1 намираме # 966; (0,36) = 0,3739.

Желаният вероятността е:

Бернули формула води до различен резултат, а именно P10 (8) = 0.282. Такива значими отговори несъответствие се дължи на факта, че в настоящия пример, п е малка стойност (уравнение на Лаплас дава доста добро приближение за достатъчно големи стойности на N).