Квадратна матрица и детерминанта
Матрицата се нарича обратна на квадратна матрица А. Ако
Zamechanie.Tolko квадратна матрица е с мен обратен с него по същия ред, но не всяка квадратна матрица има обратен.
Ако детерминантата е различна от нула. квадратна матрица се нарича nondegenerate (неособена матрица); ако детерминанта е нула, дегенеративен матрица (специално).
Теорема (необходими и достатъчни условия за съществуването на инверсната матрица). инверсната матрица съществува (и е уникален), ако и само ако първоначалната матрица не е единствено число.
Алгоритъм за изчисляване на обратна матрица:
1. Намерете определящ фактор за оригиналната матрица А (ако тя е нула, инверсната матрица не съществува).
2. Намерете матрицата ". транспониране на А.
3. Определяне на кофактори на елементите на транспонирана матрица и ги комбинира в прикрепен матрица.
4. Изчислява обратен матрица с формула
.
5. Проверка на точността на изчисляване на обратната матрица
Пример .. изчисли обратната матрица.
1. Има и друг метод за определяне на обратен матрицата - използва елементарни трансформации. За да направите това в една матрица. където Е - самоличността на един и същи ред. Преустроен елементарни трансформации в единица Е; където самата матрица единица Е. подлага на същата трансформация, се трансформира в инверсната матрица. Това означава, че ние получаваме.
2. елементарни матрица:
1) изхвърляне на нула ред (колона);
2) размножаване на елементи ред (колона) в редица не е равно на нула;
3) промяна на реда на редовете на матрицата при изчисляване на фактор променя знак) (колона) (спецификация промяна на реда на редове (колони.);
4) добавяне към всеки елемент на един ред (колона) на съответните елементи на друг ред (колона), умножена по всяко цяло число;
3. Две матрици са еквивалентни ако е получен от друг от краен брой елементарни трансформации.
Следователно, съществува обратна матрица. Ние намери своя път е описано в бележката.
(Тъй като колоните са разменени, допълнително трансформация се осъществява с колони; zeroize първите елементи на втората и третата колони, добавянето им към първата, съответно, умножена по (-2) и 1, и т.н.)
.
4.Ponyatie непълнолетен към порядък. Място матрица (определение). Изчисляване матрица ранг от елементарни трансформации. Пример.
Размерът на матрица чрез изтриване на редове и (или) колона, за да се изолират възможно квадратен подматрица к-тия ред. Детерминантите на тези матрици се наричат непълнолетни на матрицата за к- тия.
Забележка. Трябва да се прави разлика на понятието "маловажен елемент матрица" (вж. P.2) и "Мала матрица".
Ранга на матрицата (R (A)) се нарича най-висок ред ненулеви непълнолетни тази матрица.
Определението предполага:
1) в ранг не превишава по-малката от неговия размер, т.е. ;
2) R (A) = 0, само за нула матрица;
3) за квадратна матрица на за п R (A) = N, тогава и само ако. когато А не-дегенеративен, т.е. ,
Пример. Определя ранга на матрицата
.
Решение. Ние избираме от матрицата на всички възможни непълнолетни лица:
втори ред малолетни и непълнолетни
. . - всички те са равни на нула след това ранга на матрицата може да не е равна на 2;
малолетни и непълнолетни лица от първи ред:
и т.н. - сред тях е нула, следователно, R (A) = 1.
Когато голям измерение на матрицата да се определи неговото търсене ранг на всички непълнолетни по-скоро труден. Помислете за други начини.
Теорема. Рангът на матрицата не се променя от неговите елементарни преобразувания.
Използвайки тази теорема, обикновено за определяне на ранга на матрица се препоръчва да се използва метод на елементарни трансформации, състоящ се в това, че с помощта на елементарни трансформации (вж. P.3), дадена матрица А води до ешалон форма
и броят на ненулевите редове в матрица, получена е неговата скорост клас.
Забележка. Ако матрица M> N, след това за елементарни преобразувания низове по-добре предварително транспониране матрица.
Пример. (До нула в първата колона на всички, с изключение на първия, първият ред на матрицата се умножава по 2 и се добавя към третата, и след това се добавя на първа линия до четвъртата) =
= (Сега нула, във втората колона всички номера, с изключение на първите две, за тази втора линия се умножава по (-3) и да добавите до първата с третата, а след това на четвърти).
Броят на ненулевите редове в матрицата на получената скорост е равно на 2, следователно, R (A) = 2.