Колекция дигитална библиотека на задачи и упражнения по дисциплината алгебра и теория на числата

До пълното премахване на неизвестни Йордания-Гаус може да реши всяка система от линейни уравнения:

Първо матрица, съставена от коефициентите на неизвестните условията на уравненията и свободни на системата, наречена разширената матрица на системата:

следните елементарни превръщания се извършват върху матрицата, в резултат на което системата от уравнения, съответстващи на наскоро получи матрицата остава еквивалентни на оригинала:

а) промяна на местоположението на всеки ред на матрицата,

б) умножаване на всеки ред на матрицата на редица различни от нула,

а) добавяне на един ред от друга на реда, умножена по произволен брой,

г) промяна на местата на всяка колона (което съответства на пермутация на условията, съдържащи едно и също име във всички неизвестни уравнения).

В резултат на тези промени, система, в която някои неизвестни изключен от всички уравнения, с изключение на един. Към системата на елементарни преобразувания се прилагат отново, за да се изключат други неизвестни, и т.н.

Процесът на преобразуване може да се случи няколко случая.

1. Ако в някакъв момент ние се матрица от вида:

на процеса на изчисляване свършва. Първоначалната система има уникално решение. Стойностите, съответстващи на непознатото са в дясната част на матрицата.

2. Ако в някакъв момент се обърна ред, в лявата част на която се състои от нули, както и правото не е равно на нула, което съответства на уравнението:

оригиналната система все още няма решения, за да напише уравнението няма решение, т.е. системата е в противоречие.

3. Ако в някакъв момент се образува линия, състоящ се изцяло от нули, което съответства на уравнението:

след това този ред могат да бъдат премахнати от матрицата, както е написано в уравнението е идентичност. Наличието на нулевата линия показва, че е налице в първоначалната система, най-малко едно уравнение, което е следствие от друга, което е получено от друга страна, чрез умножаване на тези линии на някои цифри и добавяне на резултатите на умножение.

4. Ако в някакъв етап се обърна матрица от вида:

(к

Ако дадете на неизвестното в дясната част на цялостните решения и конкретните стойности за изчисляване на стойностите на неизвестните лявата страна, а след това ние имаме конкретно решение. Ако сложите всички неизвестните от дясната страна, равна на нула, а след това на съответното конкретно решение е основен.

Пример. Решете системата на линейни уравнения:

Решение. Ние ще решим системата от Гаус-Йордан.

Ние формират подсилена матрицата и разменят местата на първия и втория редове:

Като непознат коефициент на първия ред на ръководството, ние елиминира неизвестното и от други уравнения, т.е. умножаване на първия ред на "-2" и "-3", се добавят съответните резултати от втория и третия ред на получената матрица.

След това, ние приемаме за водещия елемент "-3" - във втория ред и във втората колона. За да получите най единица вместо с водач, ще сподели на втория ред с "-3". Произведението на получения низ съответно "2" и "3", съответно, да добавите до резултатите от първия и третия ред, като по този начин се елиминира неизвестното на първия и третия системата уравнения:

След това, като елемент от "6" на третия ред и третата колона на указание, се разделят на трета линия "-6". С този низ, съдържащ един, ние получаваме нули в третата колона в първа и втора линии:

Последният матрицата съответства на системата уравнения:

Вярвайки и свободен, да ги прехвърлите от дясната страна. В резултат на това, ние получаваме общото решение на системата:

И като произволни стойности, получаваме безкраен брой решения.

Да. след това конкретно решение ще бъде както следва:

И когато ние се основно решение:

Заместването на Решението на тази система от уравнения, можете да се провери точността на изчисленията.

Решете на системи линейни уравнения. Изясняване на геометричната смисъла на решението:

Решаване на система от уравнения от пълното премахване на неизвестни (метод на Гаус-Jordan). Ако системата не е сигурен, че е необходимо да се намери един от основните решения, както и специално решение не е основен.