Експоненциална функция, математика, фендъм задвижвани от Wikia
Експоненциална функция - функцията е обикновено означена с х. където - реално число. и X - променлива. Ако като (наричани също като база) е номер е. тогава функцията се нарича експоненциално.
Ние извлече съществуването и свойствата на функцията д х въз основа на теорията на ограничения.
Въвеждането на експоненциална функция Edit
Да разгледаме последователност на (х) =, означен граница я :.
- а (0) = 1;
- а (1) = е по дефиниция;
Ето защо, ако съществува граница за някои х, то той не е отрицателен. Ние сега показват, че за всяко х последователност (х) клони и по този начин, а (х) функция се определя, за реална х. Първо ние доказваме монотонността на (х). Както вече бе отбелязано, за всяко х, като се започне с някои п, всички членове на последователността са положителни, така страх, помисли за такива п ролка. то Трансформация: ====. Сега към лявата множител приложимо Бернули неравенството и получаваме, че всички израз е по-голяма (с п строго по-голямо от някои N1), отколкото = 1. Следователно увеличава последователности. За съществуването на граница също е необходима, ограничена по-горе. Нека докажем и нея. за (х) (Х) =, следователно, а (х) =. Числителят на фракцията на правото за достатъчно голям п е по-голямо от нула, но винаги по-малко от единица, знаменателят, както току-що е било доказано, и увеличения за достатъчно голям п е по-голямо от нула. Определи някои п = N2. че в знаменателя е по-голяма от нула. След това от лявата страна винаги ще бъде по-малко, т.е. постоянна. Следователно последователността наистина ограничена, и (х) се определя навсякъде.
Редактиране на имоти
Ние описват свойствата на нас въведена функция.
1). а (х + у) = а (х) на (у). За да докаже това, нека да докажем лема първо: ако тогава.
За достатъчно голяма п | αn | Това става по-малко от единство; Бернули получи че = за неравенството. Виждаме, че най-левите и десните части са склонни да единство и следователно от теоремата на ограничения неравенство. и сключен между тях експресия тенденция да същия номер, часа. т. г.
Сега доказване на реалните свойства. а (х) на (у) = = = = =, където α =. От този имот това следва, че (х) на (Х) = 1.
2). От имот 1, че за всяко Ха (х) не е отрицателен, а (х) = а (х / 2 + X / 2) = а (х) 2. и следователно, а (х) е винаги положителен.
3). а (х) се увеличава. В действителност, ако x2> x1. след това (х2) = а (х 1 + (х2 - х1)) = A (х1) а (х2 - х1), където (х1) е положителен, и следващата фактор по-голям от един (тъй като според всички неравенство същия Бернули на , а (х)> = 1 + х).
4). а (х) е непрекъсната. Ние доказваме, приемственост при нулево: 1 + х и затова ограничението е равна на единство при нулево - стойността на нула. Ако се вгледаме в x0. ние виждаме, че (х) = а (x0) а (х-x0), има тенденция х да Х0 десния фактор тенденция към 1, а следователно ограничаване на (X) в точка, равен на него стойност в същата точка, ч. т . г.
Сега нека да разгледаме по-отблизо въведената функция. а (NX) = а ((п - 1) х + х) = ... = (а (х)) п; а (1) = Е, а (1 / п) = д 1 / п. а (т / о) = д m / п. а (-m / п) = д -m / п. Всичко това е лесно да се покаже. Оказа се, че наборът от рационални числа вход към функция, идентичен с функцията д х; в действителност, това е същото с нея.