Дисперсията на случайната променлива
В този план, има и други приложения, вижте. Дисперсия.
В отклонение на случайната променлива - мярка за разпространението на тази случайна променлива. т.е. отклонение си от очакването. Обозначена \ (D [X] \) в Руската литературата и \ (\ operatorname (X) \) (Eng. Дисперсия) във външната. Статистиката често използват нотация \ (\ sigma_X ^ 2 \) или \ (\ displaystyle \ сигма ^ 2 \). Корен квадратен от дисперсията равна \ (\ displaystyle \ сигма \), се нарича стандартно отклонение. стандартно отклонение или стандартното отклонение. Стандартно отклонение измерена в същите единици. като се случайна променлива и дисперсията се измерва в квадратите на това устройство.
От неравенство Chebyshev, то следва, че вероятността случайна променлива се отделя от неговото математическо очакване на повече от к стандартни отклонения на по-малко от 1 / к ². Например, най-малко 95% от случайна променлива с нормално разпределение, отстранен от неговата средна не повече от две стандартни отклонения, и приблизително 99.7% - не повече от три.
Определяне [цитат]
Нека \ (X \) - случайна променлива определя на вероятност пространство. Тогава $$ D [X] = M \ наляво [| X-М [X] | ^ 2 \ прав] $$
Коментари [правило]
- Ако случайна променлива \ (X \) е истинско. След това, поради линейността на очакването, ние имат формулата: \ (D [X] = М [X ^ 2] - \ наляво (М [X] \ дясно) ^ 2; \)
- Дисперсията е втората централна момента на случайна променлива;
- Дисперсията може да бъде безкраен. Виж, напр., Коши разпределение.
- Дисперсията може да се изчисли с помощта на функция момент генерираща \ (U (т) \): \ (D [X] = М [X ^ 2] - \ наляво (М [X] \ дясно) ^ 2 = U '' (0 ) - \ наляво (U "(0) \ вдясно) ^ 2 \)
- Дисперсия число случайна променлива може да бъде изчислена чрез генериране функция.
- Удобен формула за изчисляване на дисперсията на случайна последователност \ (X_1 X_n \.): (! \ D = \ dfrac ^ nX_i ^ 2 - \ dfrac ^ п x_i \ дясно) \> ^> \ 2)
Имоти [редактиране]
- Дисперсията на всеки не-отрицателни случайна променлива: \ (D [X] \ geqslant 0; \)
- Ако отклонението на случайната променлива е ограничен, след хода и очаквания;
- Ако случайна променлива равна на постоянен, след това му отклонение е равно на нула: \ (D [а] = 0. \) също е вярно: ако \ (D [X] = 0, \) е \ (X = М [X] \) ае;
- Дисперсия на сумата от два случайни променливи е: \ (\ D [X + Y] = D [X] + D [Y] + 2 \, \ текст (X, Y) \!), Където \ (\ \ текст (X! , Y) \) - ковариация;
- Към дисперсията на всяка линейна комбинация от няколко случайни променливи следното уравнение притежава :! \ (\ Г \ наляво [\ sum_ ^ п c_i x_i \ полето] = \ sum_ ^ п c_i ^ 2 D [x_i] + 2 \ sum_ c_i c_j \, \ текст (x_i, X_j) \), където \ (c_i \ в \ R \);
- По-специално, \ (D [X_1 + + X_n.] = D [X_1] + + D [X_n] \.) За всички независими или несвързани помежду случайни променливи, като им ковариация е нула;
- \ (Г \ наляво [a.Ход по \ полето] = а ^ 2D [X]; \)
- \ (Г \ наляво [Х \ полето] = D [X]; \)
- \ (Г \ наляво [X + б \ полето] = D [X]. \)
Пример [цитат]
Нека случайна променлива \ (\ displaystyle X \) има стандартен равномерно разпределение на \ (\ displaystyle [0,1] \) т.е. неговата вероятност плътност се определя по уравнението $$ f_X (х) = \ ляво \<\begin 1, & x\in [0,1] \\ 0, & x \not\in [0,1]. \end \right.$$
След очакването на квадрата на произволно количество $$ M \ наляво [X ^ 2 \ полето] = \ Int \ limits_0 ^ 1 \! X ^ 2 \, DX = \ наляво. \ Frac \ полето \ vert_0 ^ 1 = \ Frac, $$ и очакването на случайна променлива $$ M \ наляво [X \ полето] = \ Int \ limits_0 ^ 1 \! х \, DX = \ лявата. \ Frac \ полето \ vert_0 ^ 1 = \ Frac $$ След това дисперсията на случайна променлива $$ D [X] = М \ наляво [X ^ 2 \ полето] -. (М [X]) ^ 2 = \ Frac - \ лявата (\ Frac \ дясно) ^ 2 = \ Frac. $$