diagonalizable матрица
В линейната алгебра квадратна матрица А се нарича diagonalisable. ако тя е подобна на диагонална матрица. т.е., ако не е единствено матрица P., така че P -1 AP е диагонална матрица. Ако V - триизмерна вектор пространство. линейната картографиране T. V → V се нарича diagonalizable. ако има подреден основа в V. където Т е представен като диагонална матрица. Diagonalization е процес на намиране на диагонална матрица, съответстваща на матрицата или diagonalisable линеен картографиране. [1] квадратна матрица, която не може да бъде диагонилизирана, наречен дефектен.
Diagonalizability матрица и показва интересни като диагоналните матрици с просто работа: собствените стойности и векторите са известни, степенуване се извършва експонентни диагонални елементи, равни на детерминанта на продукта от диагоналните елементи. От геометрична гледна точка diagonalizable матрица е нееднороден мащабиране: всяка посока на разтягане се извършва по принцип с различно съотношение в зависимост от броя на диагонала.
Фундаментален факт на diagonalizable карти и матрици, изразена в следните твърдения.
- Матрица с размер N х N над поле F е diagonalisable ако и само ако сумата на размерите eigensubspaces равно на п. което е вярно, ако и само ако съществува основание на Fn. състояща се от собствени вектори А. Ако се намери такава основа е възможно да се създаде матрица P., чиито колони са базисни вектори, и Р -1 AP е диагонална матрица. Стойностите на диагонала на тази матрица са собствените стойности на А.
- Линеен картографиране T. V → V е diagonalizable ако и само ако сумата на размерите на неговите eigensubspaces е слабо (V), което е вярно, ако и само ако има основа за V., състояща се от собствени вектори на Т. По отношение на тази основа ще бъде представен T под формата на диагонална матрица. Диагоналните елементи на тази матрица са собствените стойности на Т.
Matrix или линеен картографиране diagonalizable над поле F единствено и само ако минималният полином е продукт на линейните фактори целия терен F. С други думи, на диагонилизирана матрица единствено и само ако, когато всички минимални полином разделители са линейни.
Следното условие (достатъчно, но не е необходимо) често е от полза.
- Матрица с размер N х N диагонилизирана над поле Е. Ако има п различни собствени стойности в Е. т.е. ако неговата характеристика полином има п различни корени в F; обратното не може да е вярно. Помислете матрицата
- линеен картографиране T. V → V, когато п = слабо (V) е diagonalizable ако има п различни собствени стойности, т.е. ако характеристика полином има п различни корени в Е.
Нека A е матрица над F. Ако A е diagonalizable, а след това някой от нея степен ще бъде diagonalizable. Ако А е обратим, F е алгебрично затворен, А п diagonalizable за някои п. Това не е кратно на характеристика Е. диагонилизирана.
почти всяка матрица е diagonalizable над В. По-специално: множество сложни матрици с размер п х п. без diagonalizable С в продължение на, когато се разглежда една подгрупа Cn х п е нула Lebesgue мярка. Човек може да се каже, че diagonalizable матрици образуват плътен подмножество в топологията Zariski. Освен това, част от набора от лъжи, в които дискриминантата на характерната полином се свежда до нула, тоест, на hypersurface. Над R не се извършва.
Йордания-Шевалие разлагане на оператора е сумата от diagonalizable и nilpotent част. Следователно, матрицата е diagonalisable ако и само ако nilpotent част е нула. С други думи, матрицата е диагонилизирана, Йордания форма, ако всяка единица има не Nilpotent част.
Ако матрицата може да се диагонилизирана, т.е.
След горното уравнение може да бъде пренаписана като
Вектори P колони са десните собствени вектори на А. съответния диагонални елементи са собствените стойности. Обратимостта P също предполага, че собствените вектори са линейно независими и образуват на базата на Fn. Това е необходимо и достатъчно условие за diagonalizability. Вектори Р -1 редове са левите собствени вектори на А.
На практика diagonalization матрицата се извършва на компютъра. Има редица алгоритми. което позволява да се извършва този процес.
Diagonalization от множеството матрици
Множество матрици е diagonalizable заедно, ако има уникален обратима матрица P., така че P -1 AP е диагонална матрица за всеки от множеството А. Следната теоремата характеризира съвместно diagonalizable матрица: набор от матрици е набор от diagonalizable матрици пътуват единствено и само ако е ко-diagonalizable. [2]
Наборът от всички по-горе са диагонални матрици С п х п когато п> 1 не се споделя diagonalizable. Например, матрицата
diagonalizable, но не заедно, тъй като те не пътуват.
Включва множество комутационни матрици при нормална ако и само ако е ко-диагонилизирана унитарна матрица, т.е. налице е унитарна матрица U. така че U * AU диагонална матрица А за всеки от множеството.
diagonalizable матрица
- Involutions diagonalizable на реални числа (и над всяка област, чийто характерен не е равно на 2), подредени по диагонал ± 1.
- Endomorphisms ограничен diagonalizable за над C (или по друга алгебрично затворено областта, където характеристиката не е делител на endomorphism на ред) ще бъде разположен на диагоналните корените на единство. Минималната полином е отделим. тъй като корените на единство различно.
- Прожектори diagonalizable, разположени по диагонала и 0 1.
- Реални симетрични матрици diagonalizable използване ортогонални матрици. Помислете реално матрица A. Q T AQ диагонал до известна ортогонална Q. В по-общ смисъл, единичната матрица diagonalizable матриците, ако и само ако те са нормални. В случай на реална симетрична матрица А = А Т. Следователно АА Т = Т А. Примери нормални матрици са реално симетричен (или кос) на матрицата и Hermitian матрицата.
nondiagonalizable матрица
Като цяло, матрицата на въртене не е diagonalizable през реала, но въртене матрица diagonalizable над областта на комплексни числа. Дори ако матрицата nondiagonalizable, това може да доведе до "най-добрите възможни средства", и да се създаде матрица със същите свойства, съдържащ собствените стойности на главния диагонал и тези, които или нули по диагонала по-горе, т.е. Йордания нормална форма.
Някои матрици не са diagonalizable над всяка област, сред тях, можете да укажете различна от нула nilpotent матрица. Това се случва, ако алгебрични и геометрични мултиплициране собствени номера не съвпадат. Помислете
Тази матрица не може да бъде диагонилизирана не съществува, за които матрицата U. U -1 CU е диагонална матрица. С има една собствена стойност (нула) алгебрични множеството 2 и геометрична множеството 1.
Някои недвижими матрица не може да бъде диагонилизирана над реалните числа. Помислете матрицата
Матрицата В има няма истински собствени стойности, така че не е реално матрица Р. за които Q -1 BQ е диагонална. Но с течение на областта на комплексни числа, ние диагонилизирана Б. Ако ние считаме,
тогава Q -1 BQ диагонал.
Забележка: Горните примери показват, че размерът на diagonalizable матрици не винаги е diagonalizable.
Както диагонилизирана матрица
Тази матрица има собствени стойности
А е матрица 3 х 3 с 3 различни собствени стойности; Ето защо, тя се диагонилизирана. Имайте предвид, че ако н × н матрица точно н различни собствени стойности, се диагонилизирана.
Собствените стойности на диагонилизирана ще се появят във форма А. Следователно, когато собствените стойности на матрицата А е диагонилизирана. Можете да използвате собствените вектори за diagonalization на А.
А собствени вектори са
Можете да проверите, че А о к = λ к о к. = \ Л _v _.>
Нека P - матрица, в която колоните са собствените вектори на данните.
Имайте предвид, че за Р колони не предпочитан ред; повторно подреждане на собствените вектори в P само промяна на реда на собствените стойности на диагонал форма А. [3]
P diagonalizes матрица A. Какво е лесно да се види:
Това е следствие от факта, че в основата на всяка стандартна д 1. д 2. д 3, e_, e_> справедлив
Р - 1 р д к = P - 1 А о к = P - 1 λ к о к = λ к д к. APe_ = P ^ Av_ = P ^ \ ламбда _v _ = \ ламбда _e _,>
където се използва факта, че Р е к = о к = V_> е к-тата колона на P. следователно P - 1 о к = д к V_ = e_>. Имайте предвид, че собствените стойности λ к> появили в диагонална матрица.
Diagonalization може да се използва ефективно изчисли матрични А. степени ако диагонилизирана матрица. Да предположим, че имаме
Р - 1 р = D ⇒ P P - 1 А П Р - 1 = P D P - 1 ⇒ А = P D P - 1. АР = D \ стрелкаНадясно ПП ^ АРР ^ = PDP ^ \ стрелкаНадясно А = PDP ^,>
където D е диагонална матрица. След това, от асоциативност на продукта за матрица
Последният продукт е просто да се изчисли, тъй като тя съдържа голяма част от диагонална матрица. Този подход може да се отнесе за матрица експоненциални и други функции на матрицата. защото те могат да бъдат представени като серия власт.
Частен случай на употреба
Помислете за следната матрица:
Изчисление на различни степени на М води до един интересен модел:
Този феномен може да се обясни с diagonalization М. Трябва базата на R 2, състояща се от собствени вектори на М. Едно от базите е
където EI означава стандартната основа на Rn. Реверсиране на основата е даден от изразите
Изчисленията показват, че
Следователно, А и В са собствените стойности, съответстващи на U и V. Чрез линейност, ние получаваме матрица продукт
Връщайки се обратно към стандартната основа, ние откриваме, че
1 М NE = М ню = ан 1. \ mathbf _ = М ^ \ mathbf = а ^ \ mathbf _,> М NE 2 = М п (о - ф) = BNV - ану = (Вп - и) е 1 + BNE 2. \ mathbf _ = М ^ (\ mathbf - \ mathbf) = б ^ \ mathbf -а ^ \ mathbf = (б ^ -а ^) \ mathbf _ + б ^ \ mathbf _>.
отношенията на матрица форма описани по-горе има формата
което обяснява споменатия закон.
Приложение на квантовата механика
В квантовата механика и квантови изчисления химия в diagonalization матрица е един от най-използваните лечения. Основната причина е, че не е зависим от времето, Шрьодингер уравнение е уравнение за собствените стойности, с почти всички физически приложения - в един безкраен измерения (Хилберт) пространство. Подходите приблизителна Хилберт пространство заменени краен пространство, при което уравнението на Шрьодингер може да се преизчисляват, като проблем за намиране на собствени стойности на реалния симетричен (или комплекс Hermitian) матрица. Този подход се основава на вариационния принцип.
- ↑ Horn Johnson 1985
- ↑ Horn Джонсън 1985 г., стр. 51-53
- ↑ Елементарно линейна алгебра (Приложения версия). - осми. - John Wiley Sons.