законите на Кеплер - един
Първи закон на Кеплер.
Всяка планета в Слънчевата система се включва елипса. в един от фокусите на която е слънцето.
Формата на елипсата и степента на неговото сходство с обиколката характеризира с коефициент, където С - разстоянието от центъра на елипса фокуса на (mezhfokusnogo половината разстояние), а - полуос. Стойността на д се нарича ексцентрицитет на елипсата. Ако с = 0 и д = 0 елипсата става кръг.
Доказателство за първи закон на Кеплер
гравитация закон на Нютон гласи, че "всеки обект във Вселената привлича всеки друг обект на линията, свързваща центровете на масата на обекта пропорционално на масата на всеки обект, и обратно пропорционална на квадрата на разстоянието между обектите." Това предполага, че ускорение А има форма
В координатна форма пишем
Заместването на второто уравнение, получаваме
След интеграция пишем изразяването
по някаква константа, която е специфична ъглов момент () .Pust
Уравнението на движение в посока, става
закон на Нютон за гравитацията, свързва силата на единица маса с разстояние като
където G - универсалната гравитационна константа, а М - масата на звездата.
Това диференциално уравнение има обща разтвор:
за произволни константи интеграция е и θ0.
Заместването ф 1 / R и създаване θ0 = 0, получаваме:
Имаме уравнение на конично сечение с ексцентричност е и произхода на системата в един от фокусите. Така, от една закон на Кеплер следва пряко от закона за всемирното привличане на Нютон и Нютон втория закон.
втори закон на Кеплер (право на райони)
втори закон на Кеплер.
Всяка планета се движи в равнина, минаваща през центъра на слънцето, с равни времена на вектора на радиус присъединяват към слънцето и планетата внезапни проверки от сектор еднаква площ.
Във връзка с нашата слънчева система, този закон, свързан две понятия: перихелий - най-близката точка на орбитата и афелий на Слънцето - най-отдалечената точка на орбитата. По този начин, на втория закон на Кеплер следва, че планетата се движи около Слънцето неравномерно, като perihelia голяма линейна скорост от aphelia.
Доказателство за втория закон на Кеплер
Чрез определянето на точката на ъгъла точка частица с маса m и скорост може да се изписва така:
.
при което - векторни частици радиус и - инерция на частиците.
.
В резултат на това ние имаме
.
Разграничаваме двете страни на уравнението на времето
като вектор продукта от паралелни вектори е нула. Имайте предвид, че F е винаги успоредна на р. тъй като радиалната сила, и р е винаги успоредна срещу по дефиниция. По този начин може да се твърди, че - константа.
третият закон на Кеплер (Harmonic право)
Квадратите на периодите на планетите около Слънцето са като кубчета от полу-големите оси на орбитите на планетите.
, където Т1 и Т2 - периодите на двете планети около Слънцето, а А1 и А2 - дължината на полу-големите оси на техните орбити.
Нютон установено, че гравитационното привличане на определена маса планета зависи само от разстоянието до него, а не на други свойства, като например състав или температура. Той също така показва, че третият закон на Кеплер не е напълно точен - всъщност, той включва масата на планетата: където М - масата на Слънцето, а М1 и М2 - маса планети.
Тъй като движението и теглото са свързани, комбинацията от хармоничен закон на закона за гравитацията Кеплер и Нютон се използва за определяне на масите на планети и спътници, ако знаем техните орбити и орбитални периоди.
Доказателство за третия закон на Кеплер
втори закон на Кеплер се посочва, че радиус вектора на циркулиращите тяло внезапни проверки на равни области в равни времена. Ако сега се отнеме много кратки интервали от време, когато планетата е в точките A и B (перихелий и афелий), ние може да се доближи областта на триъгълници с височина, равна на разстоянието от планетата на слънце, и база, равна на произведението от скоростта на планетата за известно време ,
Използването на закона за запазване на енергията за общата енергия на планетата в точките А и Б. Пишем
Сега, след като сме намерили VB. можем да намерим секторен скорост. Тъй като тя е постоянна, ние може да избере всяка точка на елипсата, например, за да се получи точка Б
Въпреки това, общата площ на елипсата е равна (равно πab. As). пълен обрат време, по този начин,
Имайте предвид, че ако тегло М не е пренебрежимо малка в сравнение с М. планетата ще се върти около слънцето със същата скорост и в същото орбита като материална точка орбита маси M + M (вж. Намалената маса). В този случай, на маса М в последната формула да се замени с M + m: