В скаларен продукт на два вектора

16: точка продукт на два вектора е число. равна на произведението от дължината на тези вектори на косинуса на ъгъла между тях;

5 теорема на два вектора са перпендикулярни, ако и само ако тяхното скаларно произведение е нула.

Ние доказваме тази теорема.

Да. след това ъгълът между тях. Изчисляват се и да го замени във формулата за изчисляване на скаларна продукт на вектори, получаваме:

По този начин се доказва, че ако векторите са перпендикулярни, след това им скаларен продукт е нула.

Ние доказваме обратното: Ако скаларна продукт е равна на нула, а след това на векторите са перпендикулярни:

Като се има предвид :. защото вектори са различни от вектора нула, тогава. При условие. QED.

Свойствата на скаларен продукт:

1. (комутативен закон)

2. (асоциативен закон)

3. (разпределителен закон)

4. (квадрат точка формула а)

Теорема 6 скаларен продукт на два вектора е равна на сумата на продуктите от съответните координати:

Как да получите тази формула?

Задача: 1) докаже, че векторите са перпендикулярни.

Решение: В състояние, известно координатите на векторите: От Теорема 6 откриваме вътрешния си продукт, ние получаваме.

2) Виж ъгълът между векторите

Решение: Използване на формула следствие от Теорема 6:

Определяне 17: вектор продукта от два вектора се нарича вектор. отговаря на следните условия:

1. Дължината на вектора е равна на произведението от дължината на векторите и синуса на ъгъла между тях;

3. вектори. и образуват дясна вектори.

Определяне вектор продукт или.

Определението предполага:

1. Дължината на вектор продукт равна на площта на успоредник оформен върху даден вектори общ произход и:

2. ако векторите и са колинеарни, тяхното вектор продукт е нула. Обратното е вярно.

свойства Vector продукти:

Теорема 7 Ако са дадени координатите на векторите, тогава

Има и смесен продукт на вектори смесен продукт на вектори, наречени брой определя от формулата:

Въпроси за контрол на знанията:

1. Дайте определение на вектор.

2. Какво се нарича вектор нула? единичен?

3. Дайте на определението за равни вектори.

4. Какво се нарича дължина вектор?

5. Вектори и имат една и съща дължина. Вярно ли е, че тези вектори са равни?

6. Сегментите АВ и CD принадлежат към успоредни линии. дали векторите са равни и?

7. Кои физически величини са вектор: а) температура; б) ускоряване; в) от теглото; ж) плътността на веществото; г) ускорение; е) област; ж) мощност?

8. Какво се нарича колинеарни вектори?

9. Вярно ли е, че векторът нула е лежат на една права и да е вектор в самолета?

10. Известно е, че. Можем ли да кажем, че векторите и са колинеарни?

11. Какво са линейни операции могат да се извършват на векторите?

12. Дай определянето на сумата от два вектора.

13. Определяне на разликата на две вектори.

14. Сумата от двата вектора е равна на нула вектор. Как наричате тези вектори?

15. Определяне на концепцията за линейна комбинация на вектори.

16. Какво е състоянието на линейна зависимост на вектори?

17. Какво е състоянието на линейна независимост на вектори?

18. Какво се нарича основа на самолета?

19. Формулиране понятието вектор координати.

20. Формулиране на правилата за събиране, изваждане, умножение на броя вектори в координатната начин.

21. Известно е, че. Какво можете да кажете за вектори и?

22. Позволете на понятието вектор радиус.

23. Формулиране обикновено намери векторни координати.

24. Каква е дължината на вектора?

25. Какво се нарича скаларна продукт на вектори?

26. Формулиране състоянието на перпендикулярност на два вектора.

27. Две вектори са дадени от нейните координати. Как да намерите на ъгъла между двата вектора?

28. вярно, че следва от: 1) и колинеарни; 2); 3) и една и съща посока; 4) и противоположно насочено; 5); 6); 7)?

29. В случай, че равенството между половете = =?

30. Какво е относителното положение на точки А, В и М, и ако вектори и са колинеарни?

31. Кое състояние, трябва да отговарят вектори. вектор + разделя на половина, а ъгълът между векторите?

32. Следва да бъде насочени вектори. дължината на които са известни на дължината на вектор има: 1) максимален; 2) най-малко?

33. Вярно ли е, че за всеки вектор и неравенства

34. На какви условия трябва да отговарят вектори. да има следните зависимости:

35. Има ли на колинеарни вектори и. ако колинеарни вектори?

36. При какви стойности на дължина к вектор. 1) равна на дължината на вектора; 2) е по-голяма от дължината на вектор; 3) е по-малко от дължината на вектор; 4) равен на нула?

37. Както разположена точка М, А и В, ако:

38. Дали ъгълът между векторите равни на 270 °; 180 °; 0 ° С; 45 °?

39. В която интервал е ъгълът между векторите и. ако: 1); 2) 1)?

40. Каква е дължината на отсечката AB, кога?

41. Как са линии АВ и AC, ако;

42. В случай, че уравнението. където - единичен вектор, вектори и равенство?

43. Има ли вектор е в самолета и ако равенство притежава: за всички вектори; 2) за две перпендикулярни вектори?

44. Какво представлява вектора на ъгъл с вектор, 1); 2)?

45. Може да бъде линейно пространство с ъгъл на наклона на оста х от 30 ° с оста Z и ъгъла от 45 °?

46. ​​Коя от точките А (2; 5), В (3, 2), С (-4, 1), D (-1, -2) е: 1), отдалечени от оста х; 2) най-близо до у ос; 3) във втората квадрант; 4) през четвъртото тримесечие?

47. В какви стойности на точка А (3, 2) и В (х-1), разположен: 1) върху линия, паралелна на оста на права у; 2) на същото разстояние от оста у?

48. За кои стойности на вектор м (2 М), равна на вектора (2, 1 / т)?

49. На каква стойност на к вектор (к 0) е колинеарна с вектора (0; к)

50. ли вектори, перпендикулярна на двете?

51. лежат на една линия, ако точката (3 -7), (-5, 4), (27 -40)?

52. Дали успоредни прави линии преминават съответно през точките (1, 1), (2, 1) и (3, 5), (-1, -3)?

Упражнения за resheniya-

1. върховете на успоредник са точките А, В, С, D. Изисква: 1) определяне на векторите нула отговарят на тези точки; 2) намерите всички двойки на колинеарни вектори; 3) за намиране на всички двойки от не-колинеарни вектори.

2. Разгънете вектора на базисни вектори и да дължината му, ако А (1, 3), В (4; 2). Какви са координатите на?

3. Предвид вектори. Намерено: 1); 2); 3); 4); 5).

4. Изтеглете правоъгълна координатна система вектори и да намерят тяхната дължина. Изчисляване на ъгъла между тези вектори.

5. Предвид четири точки: А (-3; 1), В (1; 3), C (5, 0) и D (3, 4). Дали вектори и равни? Отговорът да се обясни.

6. Изграждане на вектори. ако А (2, 3), В (-4 -1). Докажете, че тези вектори не лежат на една права.

7. Намерете ъгълът между векторите и. ако векторите на дялове и ъгълът между тях е 0 до 120.

8. конструирана в правоъгълна координатна система, триъгълник ABC с върха си (1, 4), В (-5, 0), C (2, 1) и изчисляване на средната дължина на VM. Откриване на разширяването на вектора на вектори и. Поставете вектор в базата.

9. Виж точка на оста Oy, на еднакво разстояние от точките А (6, 12) и В (-8; 10).

10. Точка C (3, 5) разделя сегмента AB в връзката. Откриване сегмента започва ако В (1, 1).

11. Виж на точка М, на еднакво разстояние от оста на координати и точка А (-4, 2).

12. Виж на точка М, чието разстояние от абсцисата на точка А (-2, 4) е 10.

13. докаже, че точките А, В, С, D - успоредник върха, ако е известно, че те не лежат на една линия и ненулеви вектори са равни.

14. Да разгледаме успоредник ABCD. точка M лежи на страната на компактдиска. Намерете сбора на vektorov6

1); 2); 3); 4).

15. Натоварването се спуска с парашут с висока скорост. Вятърът носи напречен със скоростта. В кой ъгъл спрямо вертикалното натоварване ще се понижат, ако

16. Да За - точката на пресичане на диагоналите на ABCD на успоредник. Намерете х, ако:

17. докаже, че дължината на векторите са равни ако и вектори - перпендикулярно.

18. Дан правоъгълен триъгълник ABC с отстрани 2. Точките М и Н - средите на страните AB и BC. Намери скаларната продукт на вектори:

19. Виж координатите на проекцията на точка А на координатните оси, когато А е (2, 1).

20. Дан вектор (-1, -2). Намерете координатите на точка Б, ако знаете координатите на точка А:

21. Има ли на колинеарни вектори:

1) (1, 2) и (-2, -4); 2) (1; 1, 2) и (2, 2, -4);

3). ако А (8; -2), В (3, 4), С (11; 7), D (-21, 19)?

22. Изчислете точка произведение на две направления:

1) (-2, 3) и (3, 4); 2) (1) и (2);

3). където А (-2, 4); B (3; -6), C (5, 3);

23. е перпендикулярна вектори:

1) (-2, 3) и (1, 2); 2) (4, 1) и (3, 12);

24. Да се ​​намери дължината на вектора:

3). където А (1; 3) и В (-2 0);

25. Виж ъгълът между векторите:

1) (1 1) и; 2) (1 1) и;

26. Виж триъгълник ABC периметър и големината на ъгъла, където: А (6; 7), В (3, 3), G (1; 5).

27. Виж координатите на средната точка на сегмента AB, където: 1) (-4, 3), В (-2, 5); 2) (-4, 3), В (-2, 5).

Dan 28. сегмент с края (1 -3) и В (31; 17). Определя координати на точки на сегмента го разделят: 1) на половина; 2) в три равни части; 3) на шест равни части.

29. Намерете координатите на крайните точки, които се намират върху координатните оси, ако средата е смисълът:

1) Като се има два вектора: ф. изисква:

а) конструиране на вектори;

б) изчисляване на площта на успоредник формира на тези вектори;

в) данните намерите сумата и вектор разлика;

г) изчисляване на дължината на всеки вектор;

д) определяне на координатите на вектор, вектор колинеарни и с дължина три пъти по-голяма от дължината на вектора.

2) При един триъгълник ABC: А (-5, 3), В (1, 4), C (3, 1). В триъгълника построени медиана AK. изисква:

а) да се намери разширяването на вектора на вектори и;

б) разлагане на база вектор.

1) два вектора са дадени. M (-2, 3), N (2: 1), К (1, 2), F (4, -2). изисква:

а) конструиране на вектори;

б) се намери сумата от и векторни данни разлика;

в) намери дължината на всеки вектор;

г) определяне на координатите на вектор, перпендикулярна на вектора и минаваща през точка (1; 4);

д) намерите скаларен продукт на вектори.

2) При един триъгълник ABC: А (-5, 3), В (1, 4), C (3, 1). построен на височина АД триъгълник. изисква:

а) да се намери разширяването на вектора на вектори и;

б) разлагане на база вектор.