Точните диференциални уравнения

Определяне на точната диференциално уравнение

[(Вдясно \) DX + Q \ наляво P \ наляво (\ дясно) ди = 0 \] В диференциално уравнение на формуляра \ се нарича пълно диференциално уравнение. ако има функция на две променливи \ (U \ наляво (\ дясно) \) с непрекъснати частични производни, които [дю \ наляво (полето \) = \ отляво (\ дясно) DX + Q \ доста експресия \ P (\ полето .) ди \] общата разтвор на пълна диференциална се определя от формула \ [U \ наляво (\ полето) = C \], където \ (с \) - произволна константа.

Необходимо и достатъчно условие

Нека функция \ (Р \ ляво (\ дясно) \) и \ (Q \ наляво (\ дясно) \) имат непрекъснати производни в някои област \ (D. \) диференциално уравнение \ (Р \ наляво (\ дясно) DX + Q \ ляво (\ вдясно) ди = 0 \) е равна на общата диференциално уравнение, ако и само ако равенството притежава: \ [\ Фрак >> = \ Фрак >> \.]

Алгоритъм за решаване на уравнения в общите диференциали

Първо ние виждаме, че диференциално уравнение е точна диференциал. използва необходимо и достатъчно условие. \ [\ Frac >> = \ Frac >>. \]

След това пишем системата от две диференциални уравнения, които определят функцията \ (U \ ляво (\ дясно): \) \ [\ ляво \<\begin \frac>> = P \ ляво (\ вдясно) \\ \ Фрак >> = Q \ ляво (\ вдясно) \ край \ прав .. \]

Интегриране на първото уравнение в променлива \ за Вместо постоянно \ (С \) напиши неизвестна функция, която зависи от \ (х \.) (Y: \) \ [U \ ляво (\ вдясно) = \ вътр \ вдясно) DX> + \ varphi \ лявата (у \ дясно). \]

Интегриране на този израз, ние откриваме, функцията \ (\), и поради това, функцията \ (U \ ляво (\ дясно): \) \ [U \ ляво (\ вдясно) = \ вътр \ вдясно) DX> + \ varphi \ наляво ( у \ дясно). \]

Общият разтвор на пълна диференциална изписва като: \ [U \ наляво (\ дясно) = С \]

Забележка. В стъпка \ (3 \), вместо на интегрирането на първото уравнение в променливата \ (х \), можем да интегрираме второто уравнение в променлива \ на (у. \) След интеграция е необходимо да се определи неизвестната функция \ (. \)