Собствени вектори и собствени стойности на квадратна матрица - studopediya

Голям брой научни и технически проблеми, както и някои в областта на изследванията Изчислителна математика изискват намирането на собствени стойности и собствени матрици.

Векторът х = (X1, Х2 ... хп) Î E п е каза собствен вектор матрица А = (Aij) NN, ако suschestvuettakoe номер л Î R, който е уравнение:

Броят L се нарича собствена стойност на матрицата А.

Тъй като размножаването на собствените вектори от скаларна е собствен вектор на една и съща матрица, може да се нормализира. По-специално, всяка координата на собствения вектор може да бъде разделена на максимум от тях, или от дължината на вектора. В последния случай, изключете единица собствен вектор.

От характеристика матрица на матрицата е матрица на формата:

където Е - матрица идентичност.

Лесно е да се види, че (1) може да се запише като:

Ако отидете в координатна вектор форма запис х. на

Системи (3) и (4) са хомогенна система от линейни уравнения п C N неизвестни. Той разполага с nontrivial решение само ако детерминанта е нула.

В детерминанта на матрица с е полином от степен N по отношение на якост # 955;

Тя се нарича характеристика полином. Корените на този полином са собствени стойности на матрицата А.

За да разберете собствените вектори, необходими за решаване на системата от линейни алгебрични уравнения, чието решаване не е единствена. Знаем от линейна алгебра, че в този случай общото решение има следната структура: една или повече неизвестното наречения свободен, да приеме всяка стойност, изразени чрез общ неизвестен наличността. Броят на свободните неизвестни равен на броя на уравнения, получени от останалите уравнения, т.е.

където m - брой на свободни неизвестни; п - размерност на системата.

На практика, ако някой непознат безплатно (което често се случва), то се приема, че е някакъв номер, например 1. След това, останалите са неизвестни (векторни компоненти), които се определят еднозначно. Тази процедура не засяга резултата от решаване на проблема, както вече беше отбелязано, че собствените вектори са точни до постоянно фактор.

Пример. Изчислява собствените стойности и собствени вектори на А.

Решение. Ние образува характеристика полином:

Ние намираме корените на този полином:

За да разберете собствените стойности и. съответстваща на L1 и L2 на собствени стойности. Ние се създаде система от уравнения за всеки от тях:

или в компонент форма:

Трябва да отбележим, че уравненията са линейно зависими. Ето защо, ние ще оставим само един от тях. От първото уравнение следва, че x2 = - x1. Неизвестна x1 може да се разглежда безплатно. Предполагаме, Х1 = 1, тогава Х2 = - 1, и собствен вектор, съответстващ на собствена стойност L1 = 2, е = (1, 1) или = L1 - L2. където L1. L2 - единичните вектори на избраната система гостоприемник.

По същия начин ние откриваме втория собствен вектор, съответстващ собствен znacheniyul2 = 5

вектор се нормализира и нормализиране на вектора. е разделяне на компоненти за повечето от тях. получаваме:

Тя може също така да причини векторите на дължината на единица, разделяне компоненти на стойностите на вектори модули:

Ние счита простият пример за изчисляване на собствените стойности вектори за матрица от ред 2. Също така е лесно да се въвеждат като матрица решение за третия ред и за някои много специални поводи.

В най-общия случай, особено за високо, за матрица, задачата за намиране на техните собствени стойности и собствени, наречен пълен собствена стойност проблем са значително по-сложно.

На пръв поглед може да изглежда, че проблемът се свежда до изчисляване на корените на полинома (6). Въпреки това, тази задача се усложнява от факта, че сред собствените стойности често са кратни. А освен това, за всяка матрица самите коефициенти не е лесно да се изчисли характеристика полином.