Съобщение интеграция с диференциация

Помислете за определен интеграл, чиято долна граница е постоянна и горната променило.

Даване на горната граница на различните стойности, ще получат различни стойности на интеграл; Следователно, в тези условия интеграл на функция на горната гранична стойност

,

тук

- интеграция променлива, промяна в интервала .

Теорема 1.Proizvodnaya на интеграл от неговата горна граница е равна на подинтегрален

.

Помислете непрекъснато получаване неотрицателна стойност в интервала

функция. Отстраняване на точкаи некаплощ криволинейна трапец с база,(Фиг. 9), а след това

.

Ако променливата

се увеличава, напромени в(Вж. Фиг. 9). Геометрично ясно, че

,

където

и- съответно минималните и максималните стойности на функциятав междинния . В края на краищата,- площ на правоъгълник, разположена изцяло в рамките на форма, площ, определена, и- площ на правоъгълник, съдържащ форма. Ние разделяме всички неравенството чрез формата, след това.

защото

непрекъсната функция в интервала, е необходимо в този обхват най-малко веднъж всяка стойност, разположена между най-ниските и най-високите си стойности, включително стойността на. Ние означаваме с точката, в която , .

Помислете за граница на този израз с уговорката, че

. Тогава точката, и стойносттана стойността на функцията. Според свойствата ще имат ограничения:

, .

ЗАБЕЛЕЖКА: Тази теорема показва, че интеграцията и диференциация - обратните операции.

В Неопределен интеграл

OPREDELENIE.FunktsiyuF (X), което е производно на функцията подинтегрален се нарича примитивна.

Как да се намери производната е една от основните задачи на диференциала смятане, така че намирането на примитивен тя е една от основните цели на интегралното смятане.

Помислете например за функцията

. Ние знаем, че. функцияпримитивна функция.

Ако установите, производните на функциите

,,, където- произволно постоянна стойност, всички те са равни. Следователно, една от функциитеТова е една примитивна функция.

Теорема 2. Всяка непрекъсната функция има безкраен брой примитиви, както и всеки две от тях се различават един от друг само по постоянен мандат.

Да предположим, че функцията

Той разполага с примитивна функция. Тогава функциятапри всяка константаТова ще бъде и примитивен, тъй като. Така, функциятаТой има безкраен брой примитиви.

Нека функция

и- примитиви за функция, т.е.и. След това. Но. Ето защо,.

OPREDELENIE.Sovokupnost всички примитиви за подинтегрален се нарича неопределен интеграл.

В неопределен интеграл също е посочена като специфична, само без граници, т.е. ако

, на

.

и

на тази формула, равенството

,

,

.

График примитивна функция

nazyvaetsyaintegralnoy функция крива .

От определението на неопределен интеграл като множество от примитиви

че семейството интегрални криви могат да бъдат получени чрез паралелен превод на линиястойността напо посока на Y-ос (фиг. 10).

Таблица 1 показва производни и основните примитивите за елементарни функции.