сближаване на функции
Наименование на работа: сближаване на функции
Специализация: информатика, кибернетика и програмиране
Описание: Как да се улеснят изчисленията на известна функция FX или FX, ако нейните характеристики са твърде сложни Отговорите на тези въпроси са теория за сближаване функции, чиято главна цел е да се намери функция Y = x затворите т Обосновка успешни намиране на начини, в зависимост от вида на функционални параметри и избор на задачата. теорията на сближаване на функции. В зависимост от параметрите на процеса на селекция произвежда различни методи сближаване; Най-разпространени сред тях са интерполация и стандарт.
Размер на файла: 939 KB
изтеглен на работа: 96 души.
3.1. Защо сближаване на функции?
В света около нас, всичко е свързано, така че един от най-често срещаните задачи е да се установи естеството на взаимоотношенията между различните променливи, които ви позволява да определите различна стойност за стойността на една променлива. Математическият модел съгласно една стойност от друг е концепцията за функция у = е (х).
На практика, изчисленията, свързани с обработката на експерименталните данни, изчисляването на е (х), развитието на изчислителни методи, има следните две ситуации:
1. Методи за задаване на формата на функция у = F (х), ако не е известно? Тук се предполага, че дадена таблица на ценностите си. или който е получен от опитни измервания, или на сложни изчисления.
2. Опростяване изчисляване известна функция е (х) или неговите характеристики. Ако е (х) е твърде сложно?
Отговорите на тези въпроси са дадени от теорията на сближаване на функции, чиято основна цел е да се намери функция Y = (х). близо (т.е. доближава) в Normed пространство към първоначалната функция у = F (х). Функция (х) по този начин е избран така, че той е най-удобен за следващите изчисления.
Основният подход към решаването на този проблем се крие във факта, че (х) е избран в зависимост от броя на свободните параметри. т.е. стойностите на които са избрани от определени условия близост е (х) и (х).
Обосновка на начини за намиране на успешен вид функционална зависимост и подбор на параметри е задачата на теорията за сближаване на функции.
В зависимост от параметрите на процеса на селекция произвежда различни методи сближаване; Най-разпространени сред тях са интерполира и стандартния подход, който е специален случай на метода на най-малките квадрати.
Най-прости, добре разбрано и широко прилагани в момента е линейна апроксимация. при което избраната функция. линейно зависими параметри. т.е. под формата на генерализирана полином:
тук # 150; известна система за линейно независими (основни) функции. тригонометрични, експоненциална, логаритмична, или комбинация от тези функции: като по принцип всички основни функции могат да бъдат избрани например. Важно е, че системата на основни функции е пълна. т.е. осигуряване полином на сближаване е (х) (3.1) с предварително определена точност.
Тук е добре познат и често се използва система. Когато интерполация често се използва система за линейно независими функции. Сближаване за означава удобен както като ортогонална на интервала [1, 1?] Legendre полиноми:
Забележете, че ако функция се определя на интервала [а, Ь]. След това с помощта на тази система трябва първо да координатна трансформация. Получената интервал за интервал.
За да се сближи периодични ортогонални функции, използвани за [а, Ь] системата на тригонометрични функции. В този случай, генерализираната полином (3.1) може да се запише във формуляра.
3.2. Какво е интерполация?
Интерполация е начин за сближаване на функции. Същността му е, както следва. Диапазонът на стойностите на х. представлява интервал [а, б], където функциите е и трябва да бъде близо изберете подредена система от точки от (възли) (означен), броят на които е равен на броя на неизвестните параметри. Други параметри се избират така, че да съвпада с F функция (х) при тези сайтове (фигура 3.1), които решават получената алгебрични система на п в общия случай на нелинейни уравнения.
В случай на линейно приближение (3.1), системата за намиране на коефициентите на линейно и има следния вид:
Системата на основни функции. използвана за интерполация да бъде Chebyshev. т.е. така че детерминантата на матрицата на системата (3.2) е различна от нула и по този начин проблемът с интерполация да има уникален разтвор.
За най-важните практически приложения в интерполация са най-удобните конвенционални алгебрични полиноми, защото те са лесно спасен.
Интерполация полином се нарича алгебрични полином от степен п-1. съвпада с апроксимираната функцията на избрани точки п.
Общата форма алгебрични полином
Матрицата система (3.2) в този случай има формата
и нейната детерминанта (това е най-Vandermonde определящ фактор) е различна от нула, ако х аз различни гледни точки. Следователно, проблемът (3.2) има уникален разтвор, т.е. за дадена система има само различни гледни точки интерполиращите полином.
F сближаване грешка функция (х) полином интерполация степен. построени на п точки може да бъде определена от неговия известен производно за п, с формула
От (3.5) следва, че з 0 цел на р грешка (cm. Sect. 1.4) за полином интерполация на избрани възли е равно на числото р = N. размер може да се направи малка чрез увеличаване както п и намаляване часа. В практически изчисления с използване, като правило, ниски полиноми ред (п 6). се дължи на факта, че като п увеличава грешката на изчисляване на полином се увеличава драстично в резултат на грешки при закръгляването.
3.3. Какви са полиноми, както и методите за интерполация?
Същата полином може да се запише по различни начини, например. Поради това, в зависимост от задачата, с помощта на различни видове представяне полином интерполация и методи за интерполация съответно.
Заедно с обща представяне на (3.3) най-често се използват в приложения, под формата на интерполация полиноми Lagrange и Нютон. Тяхната особеност е, че не е необходимо да се намери настройките. Тъй като полиноми в тази форма се отчитат директно чрез стойностите на масата.
Нютон интерполация полином (PN)
тук # 150; текущата точка, което е необходимо, за да се изчисли стойността на полином, # 150; разделено на разликата за К, са изчислени съгласно следните формули повторение:
Newton схема полином изчисление е показано на фиг. 3.2.
Линейни (НЛП) и квадратно (ПНС) интерполация
рядко се използва интерполация Изчисляване формула (3.6) за п> 3. Обикновено, когато предварително определена маса чрез интерполация на м> 3 точки използва квадратичен п = 3 или п = 2 линейна интерполация. В този случай, приблизителното изчисляване на стойностите на F на функция в точка X се намира в точката на маса най-близо до таблицата на I-възел от общия изграждане интерполиране полином Newton първа или втора степен с формули
и за стойността на е (х) получаване (линейна интерполация) или (квадратичен интерполация). Схемата за изчисляване на линейната интерполация и квадратичен е показано на фиг. 3.3.
Lagrange интерполация полином (PL)
Полиномите са избрани така, че всички възли, с изключение на к-ти, те изчезват, в сайта на к-ти, те са равни на една:
Ето защо, от (3.8) ние виждаме, че.
Схемата за изчисляване на интерполация полином на Лагранж е показана на фиг. 3.4.
Интерполация на общата форма, като се използва директно разтвор на системата (3.2) метод на Гаус (POG)
Трябва да се отбележи, че поради големите размери на Нютон и Lagrange полиноми по-ниско изпълнение изчисляване полином от общата форма (3.3), ако преди това намери коефициенти.
Следователно, когато е необходимо да се произвеждат много изчислителна полином изработена от същата таблица, се оказва благоприятно да се намери първия коефициентите веднъж и след това се използва формула (3.3). Коефициентите са директно разтвор на системата (3.2) в матрица (3.4), след това стойността се изчислява от програмируем умерено формула (алгоритъм на Хорнер)
Схемата за изчисляване на интерполация полином на общата форма на уравнение (3.9) с директен разтвор на система (3.2) е показана на Фигура 3.5.
Интерполация обща форма, се използва за изчисляване на коефициентите на полинома (3.3) чрез полином Lagrange (POL)
Намирането на коефициентите на полинома (3.3) не може директно решаване на системата (3.2), и се използва за разширяване на коефициентите Лагранжевите (3.8):
Рекурсия формули за намиране на коефициентите.
получен от полиномите на формата. ако използвате ясна представа
Схема алгоритъм за изчисляване на коефициентите на общата форма на полином формули (3.10), (3.11), показани на фиг. 3.6.
3.4. Какво е сближаването на RMS?
Същността на сближаване на RMS е, че параметрите са избрани така, че да се осигури минимално разстояние между квадрат F на функции (х) и в пространството (вж. Sect. 1.3), т.е. на условия
В случай на линейно приближение (3.1), проблемът (3.12) се свежда до решаването на линейни системи, за да намерите най-необходимите коефициенти.
тук # 150; скаларен продукт в L 2.
матрица система (3,13) е симетрична, и трябва да бъде решен от корен квадратен.
Особено с този проблем е решен просто, ако решите ортогонална система от функции. т.е. такава, че
След това матрицата SLAE (3.13) и диагонални параметри са в съответствие с формула
В този случай, представянето (3.1) се нарича генерализирано серия Фурие. и призова коефициентите на Фурие.
Метод на най-малките квадрати (OLS)
МНМК е специален случай на средната квадратична сближаване. Когато се използва в стойности Х MNC. представлява интервал [а, Ь]. където функция е и трябва да бъде близо избран система различни точки (възли) х 1 х m. броят на който обикновено е по-голям от броя на неизвестните параметри. Освен това, като се изисква, че сумата от квадратите на остатъците на всички възли е минимална (фигура 3.7.):
Ние разберете параметрите на условията. Като цяло, това е трудна задача и изисква използването на числени методи за оптимизация. Въпреки това, в случая на линейна сближаване (3.1), представляващи състоянието на минималната сума квадрат остатъци във всички точки (при минимални частични производни трябва да бъде нула):
ние получаваме система от п линейни уравнения в п неизвестни на формата:
тук # 150; Вектори функционална маса-ции. Елементите на матрицата G и вектора в (3.15) са дадени
# 150; скаларното продукта от вектори.
Системата (3,15) има симетрична матрица G решен чрез метода и квадратния корен.
Когато приравняване на MNE обикновено се използват такива функции. които използват особен проблем да се реши и са подходящи за по-нататъшна обработка.
Схемата за изчисляване на коефициентите на формата по метода на най-малките квадрати (3.3) е показана на Фиг. 3.8.
Ето един пример на сближаване MNE. Да приемем, че известен таблицата стойности е (х).
Е сумата от квадратите на остатъците
Минимални условия (3.1 4):
Подобни условия, ние най-накрая получи система от две уравнения с симетрична матрица на неизвестните в 1 и с 2.
Решаването това, ние откриваме.
Фиг. 3.9 показва функция на маса е (х) и функцията (х), получено от МНК.
Процедурата за изчисляване на MNE следващия. Първоначално на оригиналния таблицата се генерира матрица G и коефициентите са изчислени (виж фигура 3.8.) (Както й к (х) се разтваря тук функционира х к - 1).. След това, като се използват коефициентите, получени изчислената стойност на функцията в желаната точка (вж. Фиг. 3.5, б).
3.5. опции за работа
Във всички изпълнения (виж таблица. 3.1.), Необходими за сближаване предварително определено начално функция е (х) полином за интервала [а, Ь]. Определя броя на неизвестни параметри п. тип апроксимация и m # 150; брой на точките, в които е посочено функция. Таблица оригиналната функция у, = F (х I), изчислена в точки Използване на тази таблица изисква за изчисляване на стойности на функциите и пикселите грешки. за парцел и анализ на качеството на получения сближаване.
3.6. Тестовите въпроси
1. Как е проблемът на линейния сближаване на функции?
2. Каква е интерполация на неговата геометрична интерпретация?
3. Напишете Нютон интерполация полином втория ред.
4. Напишете Lagrange интерполация полином от 2-ри ред.
5. Как е сближаването на най-малките квадрати, и неговата геометрична интерпретация?
6. Носете SLAE относително OLS функционални коефициенти за масата.
Както и други работни места, които да ви интересуват
При проектирането и изграждането на ARM счетоводител може да различи два основни вида софтуер: хардуер и софтуер. С пускането в експлоатация на APM счетоводни функции за настолни компютри, които се случват разпределение и сделки между счетоводител и персонален компютър. В допълнение да се използва като техническо средство за ARM счетоводител съвременните персонални компютри позволява едновременно с децентрализирано третиране на пълномощията да се гарантира интегрирането на базата от знания, за да се намали времето за обработка; премахване на разликата във времето между тях.
Основните правила на организацията и отчитането на всички предприятия са един. Счетоводни се ръководи от законите, подзаконовите нормативни и счетоводни правила. Въпроси като организиране на форми и техники за отчитане, компанията взема решение за себе си.