Рангът на матрицата - ранга на теоремата на матрица

Да разгледаме правоъгълна матрица (4.1). Ако тази матрица произволно разпределят к редове и колони к, елементите, стоящи в пресечната точка на избрания ред и колона образуват квадратна матрица на к-тия ред. В детерминанта на тази матрица се нарича малка к-тия ред на матрицата А. Очевидно е, че матрицата има непълнолетни всеки ред от 1 до най-малката от номера м и п. Сред всички ненулеви непълнолетни на матрицата А, има най-малко една малка, от порядъка на която ще бъде най-големият. Най-големият от заповедите на непълнолетните на матрицата, различни от нула, се нарича ранг на матрицата. Ако ранга на А е равно на R, то това означава, че матрицата има ненулева непълнолетен на поръчката R, но всеки непълнолетен на заповед по-голяма от R, е нула. Ранга на матрицата е означена с R (А). Очевидно е, че отношението

0 # 63; R (А) # 63; минути (m, п).

Ранга на матрицата е малолетни от хало, или от елементарни трансформации. При изчисляването на ранга на първия метод, трябва да преминат от ниските нива на малолетни непълнолетни, по-висок порядък. Ако вече установено Мала D к-тия ред на матрицата, ненулева, след това изисква изчисляване само непълнолетни (к + 1) -ти за ресни Мала D, т.е. съдържащ го като второстепенен. Ако всички те са равни на нула, а след това в ранг, равен на к.

Елементен наречен следната трансформация матрица:

1) пермутация на всеки две редици (или колони)

2) размножаване на ред (или колона) при не-нулево число,

3) добавяне на един ред (или колона) на друг ред (или колона), умножена по броя.

Две матрици са еквивалентни ако он се получава от друга по ограничен набор от елементарни трансформации.

Равностойни матрици не са, като цяло, равен, но в техните редици са равни. Ако матрици А и В са равностойни, а след това се изписва така: А

Canonical матрица е матрица, в която в началото

Основните диагонал ред няколко единици (броят на които

То може да бъде нула), както и всички други елементи са равни на нула,

Използване на елементарни трансформации на редове и колони на всяка матрица може да се намали до каноничен. Място каноничен матрица е равен на броя на единиците в основния диагонал.

4. обратен матрица

Помислете за квадратен матрицата

Означаваме D = Det А.

Квадратна матрица А се нарича nondegenerate или неособена матрица, ако неговото детерминанта е различна от нула и дегенеративен или особено ако D = 0.

В квадратна матрица се нарича обратна на квадратна матрица А на същия ред, ако продукт А = В А = Е, където Е - матрицата на идентичност на същата последователност като матрица А и Б.

Теорема. Към матрицата А е обратно, е необходимо и достатъчно му детерминанта да е различен от нула.

инверсна матрица А, означен с А-1, така че В = А-1. Обратното матрицата се изчислява по формулата

където Aij - кофактори на елементите Aij.

Изчисляване на обратен матрица с формула (4.5) за по-високите матрици ред е много трудно, така че на практика е удобно да се намери обратен матрица по метода на елементарни трансформации (VC). Всяко не-единствено матрица чрез ЕРО може да доведе само до колони идентичност матрица (или редове само) Е. Ако извършени горе матрица А VC по същия начин, както се прилага към матрица Е единица, резултатът ще бъде обратен матрица. Той е удобен за извършване на ЕР матрици А и Е по същото време, както запис матрицата до над линията. Имайте предвид, че когато отново намери каноничната форма на матрицата, за да открие своя ранг да използвате преобразувания на редове и колони. Ако искате да намерите обратното на матрица, само на редове или само колоните, за да бъдат използвани в процеса на трансформация.

При един матричен

като п редове и колони м. Колоните на матрицата представляват система от М Н двумерен вектори. Рангът на тази система от вектори се нарича ранг на матрицата.

Ние избираме матрица (1) са произволни к реда и толкова колони. Естествено е да се предположи, че. Детерминанта на матрицата, в пресечната точка на избрания ред и колона ще се нарича непълнолетния на к-тия ред на матрицата А.

Очевидно е, че ако всички малолетни и непълнолетни лица от к-ти ред на матрицата А са равни на нула, както и всички непълнолетни лица от по-висок ред ще бъде нула. Това следва директно от детерминанта на линията на разширяване.