Пространството на хомогенна система на линейни уравнения "линейна алгебра
Претенция 5. пространство разтвор на хомогенна система от линейни уравнения.
На първо място, ние отбелязваме, че хомогенна система на линейни уравнения винаги сътрудничество, тъй като винаги има нула решение - нула колона неизвестен.
Теорема. Наборът от разтвори на хомогенна система от линейни уравнения е линейно пространство.
Доказателство. Нека - хомогенна система на м линейни уравнения в п неизвестни. След решението на системата е колоната на неизвестните X, които считаме за вектор от височината на пространството за колона N :, където K- полеви коефициенти на системата.
Така комплектът на решения е набор от колони от пространството на колона, което е вярно уравнение матрица.
Както видяхме по-рано, този комплект е в основата на матрицата:
Вече знаем, че матрицата на ядрото е вектор подпространство на пространството за колона, и следователно по себе си е линейно пространство.
Забележка. В бъдеще, набор от решения на хомогенна система на линейни уравнения, ние ще наричаме пространство на решения на хомогенна система от линейни уравнения и етикетиране.
Теорема (В измерение на разтвор пространство на хомогенна система от линейни уравнения.)
Нека - хомогенна система на м линейни уравнения в п неизвестни и - пространство на неговите решения. след това
В противен случай, измерение на пространството на решенията на хомогенна система на линейни уравнения е равен на броя на неизвестни на системата минус ранга на матрицата си.
За краткост. Тогава теоремата гласи, че равенството:
Доказателство. Според теоремата на линеен ядро и дисплея на изображението (вж. Лекция 26, т.4)
или в нашия нотация: и
което означава, че
В същата лекция 26, т. 4. ние открихме, че
В Лекция 27 т.2. Доказано е, че величината на линейния обхват на вектори равен на ранга на тази система, т.е. в нашата нотация:
Според ранга на теоремата на матрица, в ранг на система от колони се равнява до ранга на тази матрица:
От това следва, че
Нека - основа на пространството. след това
- линеен период от системата на базисни вектори на пространството.
Припомнете си, че всеки вектор пространство може да бъде изразена като линейна период от системата на неговите базисни вектори.
Определение. Основа на разтвор пространство на хомогенна система от линейни уравнения се нарича основна система на решения.
Тъй като всеки вектор на пространството за вектор може да се разшири в своята основа, всеки разтвор на хомогенна система може да бъде представена като линейна комбинация от своя основен система на разтвори:
Определение. Решение на системата, в писмена форма
където - системата разтвори основните, и - произволни константи (Scalars на област), той се нарича общо разтвор.
Пример. Решете системата :.
Решение. Тук се има предвид системата на едно уравнение с две неизвестни. матрица система има формата и ранг.
След това измерение на пространството на решенията.
Следователно, на базата на пространството на разтворите на системата (или друга основна система на разтвори) се състои от една ненулева разтвор на системата:
Имайте предвид, че няма нула вектори във всяка база, така че.
В този случай, една различна от нула решение е лесно да се намери избора на, например, че колона решение :.
Вследствие на това много решения на тази система могат да бъдат написани като линеен период от база вектор :.
Общото решение на тази система е:
където от - всяко реално число.
Ние мълчаливо приема, че областта на коефициентите на системата е на полето на реалните числа.
Забележка. Лесно е да се валидира. Замествайки в системата, ние получаваме, т.е. уравнението се превръща в истински числено равенство за всички реални числа, както се изисква.