Производно по физика

Що се отнася до физическите приложения на производни, ние ще използваме малко по-различен нотация тези, приети в областта на физиката.

Първо, промяна на предназначението на функции. В действителност, какви функции отиваме да се прави разлика? Тези функции са физичните величини, зависеща от времето. Например, тялото координата х (т) и скорост V (т) може да се определи тези формули като:

х (т) = 1 + 12 тона трит 2;

Така аргумент функция сега е време Т, и буквата X означава функция нататък координира точка.

Второ, промяна на предназначението на производно. Бар във физиката е запазена за други цели, а вместо това ние използваме една точка над буквата:

производно на х (т) означава функция х (т):

Има още едно посочване на деривата, много често и двете по математика и физика:

производно на х (т) е означен

(Прочетена ¾de X на де te¿).

Нека се спрем на значението на символите (29). Математикът го разбира по два начина или като граница:

или като част, която е увеличение от време DT знаменател и числител в така наречените диференциални функция DX х (т). Концепцията за диференциал не е трудно, но ние няма да го обсъждаме сега; това ви очаква през първата година.

Физик, абсолютни изисквания на математическа точност, разбира означението (29), по-неформално. Нека DX е промяната в координатите на време DT. Обърнете DT интервал е толкова малка, че съотношението DX = DT е близо до своята граница (30), с приемлива точност.

И тогава, да речем, един физик, производна на координатите на време е просто една малка част, в числителя на която е доста малка промяна DX координати и знаменателя на достатъчно малък интервал от време DT през който е настъпила промяна координати. Такова небрежното разбиране на производно характеристика на мотивите физика. След това, ние ще се придържаме към това физическо ниво на строгост.

Да се ​​върнем към първоначалния пример (26) и се изчислява производната на положението, и в същото време поглед към споделянето на символи (28) и (29):

х (т) = 1 + 12T тритон 2) х (у) = DT г (1 + 12 т тритон 2) = 12 6 т:

(Диференциация символ DT г преди конзолата все още е, че лентата в горната част на скобата в предишния нотация.)

Моля, имайте предвид, че изчисляването на позицията на деривати е равна на скоростта на тялото (27). Не е случайно, и ние трябва да го обсъдим по-подробно.

2.1 деривати координати

Първо, ние се отбележи, че скоростта (27) може да бъде положителен или отрицателен. А именно, скоростта е положителен за тон <2, обращается в нуль при t = 2 и становится отрицательной при t> 2.

Как да разбираме това? Много просто, ние не се занимаваме с абсолютна стойност на скоростта, както и с проекцията на скоростта на векторни срещу оста х на X. Следователно, вместо (27), че би било по-добре да се напише:

Ако сте забравили какво проекцията на оста, прочетете съответния раздел на член ¾ ¿вектори във физиката. Тук можем само да си припомни, че проекция марка срещу х представлява посоката на свързване на скоростта и посоката на оста X:

V х> 0. тяло се движи в посока на оста Х; о х <0. тело движется против оси X.

(Например, ако V х = 3 м / сек, това означава, че тялото се движи със скорост от 3 м / сек, в посока, обратна на оста X.)

Така че в нашия пример (31) имаме следната картина на движението: в т <2 тело движется в положительном направлении оси X и постепенно замедляется; при t = 0 тело останавливается; при t> Тяло 2, диспергиране, се движи в отрицателна посока на оста X.

Да приемем, че скоростта на едно тяло е равна на абсолютната стойност на о. Два случая на посока.

1. Ако тялото се движи в положителна посока на оста Х, малката промяна в позицията на DX е положителен и равна на пътя, изминат от организма по време на DT време. следователно

2. Когато тялото се движи в отрицателна посока на оста Х, а след това DX <0. Путь за время dt равен dx, поэтому dx=dt = v или

Сега ние се отбележи, че в първия случай, срещу х = V, и във втория случай, срещу х = ст. Така, двата случая са комбинирани в единична формула:

и стигаме до един важен факт: производната на координатите на тялото е равна на проекцията на скоростта на тялото върху тази ос.

Лесно е да се види, че посочването на работа за увеличаване (намаляване) функция. А именно:

х> 0) о х> 0), тялото се движи в посока на X ос) х координира се увеличава; х <0 ) v x <0 ) тело двигается против оси X ) координата x уменьшается:

2.2 Ускорение

скорост на тялото характеризира степента на промяна на неговите координати. Но скоростта може да се отклоняват за бързо или бавно. скорост скорост промяна характеристика е физическа величина, наречена ускорение.

Да предположим, например, скоростта на превозното средство, се увеличава при равномерна ускорение на V = 0 2 м / сек до V = 14 m / и по време Т = 3 сек. ускорение на превозното средство се изчислява по формулата:

Така, изглежда, че ускорението е производно на скорост.

Формула (34) обаче не обхваща всички ситуации, които възникват в механика. Например, в случай на единна кръгова скорост за движение на тялото не се променя в сила и в съответствие с (34) ние ще трябва да се получи = V = 0. Но вие знаете много добре, че ускоряването на тялото има, то е насочено към центъра на кръга, и се нарича центростремителна. Следователно, с формула (34) се нуждае от модификация.

Той е свързан с промяната, че ускорението е всъщност вектор. Оказва се, че вектор ускорение показва посоката на изменение на скоростта на тялото. Какво означава това е, ние откриваме днес с някои прости примери.

Нека тялото се движи по оста на X. Нека разгледаме два случая посоката на ускорението: X и анти-х-ос, съответно.

вектор 1. ускорение

на codirectional с оста X (фиг. 18). Проекцията на ускорение на Х-оста е положителен: а х> 0.

Фиг. 18. х> 0

В този случай, скоростта варира в положителна посока X. именно

Ако тялото се движи надясно (V х> 0), след това се ускорява: увеличава модул скоростта на тялото. скорост проекция о х в този случай също се увеличава.

Ако тялото се премества към левия (срещу х <0), то оно тормозит: скорость тела по модулю уменьшается. Но обратите внимание, что проекция скорости v x. будучи отрицательной, при этом увеличивается.

По този начин, ако х> 0, проекцията на скорост V х се увеличава в зависимост от

тяло се движи във всички посоки.

2. Векторът на ускорение

посока, обратна на оста X (фиг. 19). Проекцията на ускорение на Х-оста е отрицателен: а х <0.

Фиг. 19. х <0

В този случай, скоростта се променя в отрицателна посока на оста X. именно

Ако тялото се движи надясно (срещу х> 0), а след това се забавя: модул на скоростта на тялото намалява. скорост проекция о х в този случай също се намалява.

Ако тялото се премества към левия (срещу х <0), то оно разгоняется: скорость тела по модулю увеличивается. Но проекция скорости v x. будучи отрицательной, при этом уменьшается.

По този начин, ако х <0, то проекция скорости v x убывает, и опять-таки вне зависимости от того, в каком направлении движется тело.

Открити в тези примери връзка проекция ускорение на х марка с увеличаване (намаляване) на скорост V х на изпъкналостта води до желаната модификация с формула (34):

Пример. Отново се върне в пример (26):

(Координати са измерени в метри, в секунди). Постоянно разграничава два пъти, получаваме:

Както може да се види, ускорението е постоянна по големина и равно на 6 m 2. Изпрати ускорение / и в посока, обратна на оста X.

Горният пример е случай на еднакво ускорено движение, при което големината и посоката на ускорение са непроменени (или, накратко,

а = конст). Равномерно ускорено движение едно от най-важните и често срещани форми на движение в механиката.

От този пример, е лесно да се разбере, че в равномерно ускорено движение проекция на скоростта е линейна функция на времето, и координатите на квадратна функция.

Пример. Помислете по-екзотичен случай:

х = 2 + трит четири тона 2 + 5т 3: