Популярни лекции по математика книги

А. А. Bolibruh. Хилберт проблем (100 години по-късно)

Първият Хилберт проблем: континуум хипотеза

континуум хипотеза, първият Хилберт проблем е свързан с проблемите на основите на математиката и теория на множествата. Тя е тясно свързана с такъв прост и естествен въпрос е: "Колко?" "Повече или по-малко?", И почти всеки гимназист мога да разбера какъв е проблемът. Въпреки това, се нуждаем от допълнителна информация, за да го формулира.

Да разгледаме следния пример. В училището се проведе вечер на танц. Как да се определи кой има повече информация по тази вечер: момчета или момичета?

Вие със сигурност може да се разчита на тези и други, както и да се сравняват двете получената цифра. Но това е много по-лесно да се отговори, когато групата засвири валс и всички танцьори са разделени на двойки. След това, ако всички участници танцуват, тогава има един чифт всяка, т.е.. Д. момчетата и момичетата в същия размер. Ако имаше само момчета, а след това момчетата вече, и обратно.

Този метод, понякога по-естествено от пряко преобразуване, наречен принципа на разделяне в пара. или на принципа на кореспонденция едно към едно.

Помислете сега е колекция от предмети на произволен характер --- настроен. Обектите, включени в комплекта, се наричат ​​негови елементи. Ако елементът е включена в множеството х е означен като X .: х X. Ако устройството съдържа в X2 набор X1. т. е. всички елементи на комплекта са също елементи X1 X2. Тогава ние казваме, че подмножество X1 --- X2. и запишете като: X1 X2.

Много разбира се. ако това е краен брой елементи. Комплектите могат да бъдат ограничени (например, много ученици в класа) и безкрайни (например --- множеството от всички естествени числа 1,2,3.). Наборът, чиито елементи са числа, наричани с цифра.

Нека X и Y --- два комплекта. Твърди се, че между тези набори една кореспонденция. ако всички елементи на двете групи се разделят на двойки от формата (х, у). където х X. Y Y. и всеки елемент от X и Y на всеки елемент участва в точно една двойка.

Например, когато всички момчета и момичета в един танц разделят на двойки и е пример за едно към едно съответствие между множеството от момичета и много момчета.

Комплекти, сред които можете да се установи съответствие едно към едно, казва, че са еквивалентни или equicardinal. Две крайни множества са еквивалентни, ако и само ако, когато те имат един и същ брой елементи. Поради това е естествено да се предположи, че ако един безкраен набор е еквивалентно на друг, а след това "точно толкова, колкото" елементи. Въпреки това, въз основа на определение за равностойност, е възможно да се получи много неочаквани свойства на безкрайните множества.

Помислете за всяко крайно множество и някои от собствените си (не е празен и не съвпада със себе си) подмножество. Тогава елементите в подгрупа по-малко. отколкото си е поставил, т.е.. д. по-малко от цялата страна.

Те имат безкраен набор от такъв имот? И може ли смисъл да се твърди, че в безкрайно разнообразие от "малките" позиции в сравнение с другото, също безкрайността? След около две безкрайни серии, можем все пак да кажа само, че са еквивалентни или не. И ако там не са равностойни по принцип определя безкраен?

След това, ние постоянно се отговори на тези въпроси. И да започнем с това даде забавно фантастичен разказ от книгата Н. Ya. Vilenkina "Приказки от наборите". 1 Действието се развива в далечното бъдеще, когато хора от различни галактики могат да се срещнат помежду си. Ето защо, за всички вградени пътуване до космоса е огромен хотел, който надхвърля няколко галактики.

Този хотел е безкраен брой стаи (стаи), но, както се очаква, всички стаи са преброени, и за всяко положително цяло число N, има една стая с този номер.

След този хотел се проведе конгрес kosmozoologov, на която присъстваха представители на всички галактики. Тъй като галактиката също е безкраен брой, всички седалки бяха заети в хотела. Но този път, приятелят му дойде на директора на хотела и го помолих да се заселят в този хотел.

"След като се замисли малко, директорът говори с управителя и каза:

--- Сложете го на # 1.

--- Къде съм аз Den обитател на тази стая? --- Попитах в администратор изненада.

--- И това мигрира към # 2. наематели същото от # 2 до # 3 изпращате от # 3 # 4 --- и така нататък. Г. "

Като цяло, нека к гост хол. ще се премести на номер к + 1. както е показано на следната фигура:

Тогава пак, всеки ще има редица и # 1 безплатно.

По този начин, един нов гост е в състояние да уреди --- само защото хотелските стаи са безкрайно много.

Първоначално, членове на Конгреса взеха всички стаи са, следователно, между множество kosmozoologov и много от него е една кореспонденция: всяко kosmozoologu даден в броя на вратата е написано съответното цяло число. Естествено е да се предположи, че делегатите са били "най-много", тъй като там са естествени числа. Но друг човек дойде, той също е живял, а броят на жителите се увеличава с 1. Но те отново напусна "толкова", тъй като има естествени числа: всичко това се побира в хотела! И ако ние означаваме броя на kosmozoologov от 0 до 2, ще получим "идентичност" 0 = 0 + 1. За всеки краен 0 е, разбира се, не е изпълнено.

Стигнахме до изненадващо заключение: ако до снимачната площадка, което е еквивалентно да добавите друг елемент, да зададете, което отново е еквивалентно. Но е ясно, че-kosmozoologi делегати са част от много хора, които се намират в хотела, след пристигането на нов гост. Така че, в този случай, частта, която не е "по-малко" и цялата "е" едно цяло!

Така че, на определението за еквивалентност (което не е довело до "странност" в случая на ограничени серии), че част от безкраен набор може да бъде еквивалентно на целия набор.

Възможно е на известния математик Болцано 3. който се опита в техните аргументи се прилага принципът на едно-към-едно кореспонденция, той се страхува от необичайни ефекти, и така той не продължи да развива тази теория. Струваше му се, абсурдно. Но Георг Кантор 4 през втората половина на ХIХ век, отново се интересуват от този въпрос, се превърна го разгледа и създава теорията на множествата. важна част от основите на математиката.

Ние продължаваме нашата история за безкрайната хотела.

Нова Resident "Не бях изненадан, когато на следващата сутрин той е бил помолен да се премести в # 1,000,000. Просто пристигна в хотел закъснял kosmozoologi на галактика ВСК-3472, както и че е необходимо да се настанят още 999,999 жители."

Но тогава имаше някакъв вид на покритието, и в същия хотел стигна до Конгреса филателистите 5. Те също имаше безкраен брой --- един представител от всяка галактика. Как те направиха всичко място?

Тази задача се оказа много трудно. Но в този случай, намерих изход.

"На първо място, на администратора поръча на наемателя да се премине от # 1 до # 2.

--- А жител на # 2 # 4 се премества от # 3 # 6 ---, обикновено от стайна п --- 2n на брой.

Сега планът му стана ясно: по този начин, той освободил безкраен брой нечетни числа и биха могли да се установят в тях филателисти. В резултат на това четни числа бяха заети kosmozoologami и нечетни --- филателисти. Филателист, който стоеше на опашката, н-ти, която се проведе на броя 2n-1 "Отново, всичко успя да постави в по тази причина в хотела, още по-изненадващ ефект: ... Когато комбинирате две групи, всяка от които се равнява на наскоро получения пакет се равнява на д Т .. ., дори ако "удвояване" на снимачната площадка, ние получаваме много, което се равнява на оригинала!

В това, което следва, ние считаме, само числови комплекти --- подмножество на недвижими линия. Наборът от всички номера на линията, т. Е. набор от реални числа, обикновено обозначен.

Преброяване и безброй комплекти

Да разгледаме следната последователност :. (--- е набор от числа и рационални числа ---, т. Е. Много от номера на формата р / р. Където Р и Q --- числа, р 0). Всички тези комплекти са безкрайни. Да разгледаме въпроса за тяхната равностойност.

Създаване на кореспонденция едно към едно между и. образуват двойки от формата (п, 2N) и (-N, 2n + 1). п. и двойка (0,1) (броят на пуснати. --- и вторият от първото място във всяка двойка).

Има и друг начин да се установи това кореспонденция, например, си запишете всички числа в таблицата, както е показано на фигурата, и, като се избягват стрели й отдават на всеки цяло число някои от стаите. По този начин, ние "преизчисли" всички числа: всеки Z е свързан положително число (брой) за всяка стая има число такова, че този брой се дължи. В този случай, изрично формула не е задължително да се предписва.

По този начин, което е същото.

Всеки комплект еквивалентно на множеството на естествените числа се нарича изброимо. Този комплект може да се "брои": изброят всички елементи от естествени числа.

На пръв поглед най-рационални числа на реда "много повече", отколкото цялото. Те са разположени гъсто. в произволно малък интервал безкрайно много. Но се оказва, че на снимачната площадка също е изброимо. Ние първо да докаже броим + (множеството от всички положителни рационални числа).

Нека да запишете всички елементи по такъв маса +: .. Първият ред --- всички номера с знаменател 1 (.. Т.е. число), а втората за знаменателя --- 2 и т.н. (виж фиг.). Всяка положителна рационално число е необходимо да се срещнат в тази таблица, а не едно (например, номер 1 = = = =. Възникна във всеки ред на таблицата).

И сега ние се преизчисли тези номера: ходене на стрели, присвоите номер към всеки номер (или пропуснете номера, ако това вече се е случвало да ни преди в друг пост). Тъй като ние се движат по диагоналите, да отидем около цялата маса (т.е.. Е., Рано или късно да стигнем до някоя от цифрите).

Така че, ние посочихме начин да се изброят всички числа от +. т. е. са доказали, че + е изброимо.

Имайте предвид, че този метод не се запази реда на номериране: две рационални числа могат да се срещнат преди, а може би и по-късно ---.

Какво ще кажете за негативните рационални числа и нулата? Както и при kosmozoologami и филателистите в безкраен хотела. + Не се изброят всички естествени числа, а само още (не им дава номер 1, 2, 3 и 2, 4, 6), определете числото нула, 1, и всички рационални числа възлагат отрицателни (по същия начин, както и позитивното ) нечетни числа, като се започне с 3.

Сега всички рационални числа са номерирани естествени, следователно, е броим.

Възниква естествения въпрос: Може би всички определя безкраен са броими?

Оказа се, че --- множеството от всички точки на брой линия --- несметен. Този резултат, получен чрез Cantor през миналия век, направи много силно впечатление на математиците.

Нека да докаже този факт, както и, както Кантор: с помощта на диагонал процес.

Както е известно, всеки реално число х може да се запише като десетична:
х = A, 12. п.
където А --- число не непременно положителен и 1. 2. п. --- цифри (0 до 9). Тази гледна точка е двусмислено: например,
Уг = 0,50000. = 0,49999.
(В едно изпълнение, вписвания, започващи с втория цифри след десетичната запетая, са всички нули, а в друг някои девет ---). За запис е недвусмислена, в такива случаи ние винаги ще изберете първата опция. След това, всеки номер съответства точно един от неговите десетична система.

За всички номера определи фигура, както следва:
=
Поставете (в това число к ти знак след десетичната точка е равно на 1 или 2, в зависимост от фигура стои на к-то място след десетичната точка в десетично число XK).

Така че, с помощта на диагонал процеса имаме реално число у. който не съвпада с някоя от цифрите на масата, защото у е различен от всеки XK поне к-те цифри от десетичната разширяването, както и различни записи, както знаем, са свързани с различни номера.

Ако приемем, че можете да разчитате на всички реални числа, имаме противоречие, като посочват броя, който не се отчита. Поради това комплектът е неизброимо.

Декорите и не са еквивалентни, и. следователно всички реални числа в известен смисъл "повече", отколкото естествено. Те казват, че кардиналността (кардиналност на континуум) е по-голяма от силата.

Сега имаме цялата необходима информация, за да се формулира добре познат проблем на първата Хилберт:

Continuum gipoteza.S до равностойност, има само два вида безкрайни поредици от цифри: изброимо множество и континуум.

С други думи, необходимо е да се установи дали има набор от междинния власт. т. е. набор Т. Т. който не е еквивалентна или. не.

Този въпрос изисква много математика. Самият Георг Кантор многократно е заявявал, че се оказа това предположение, но всеки път, когато е най-виновен.

От доказателствата по математика

Математика --- точна наука, която изисква разсъждение строгост. Но това е строго докаже всяко изявление? Това означава, го извади от аксиоми --- предположения вземат без доказателства.

Разбира се, в богат избор от аксиоми, която положи основите на теорията, има известна произвол. Но обикновено аксиоми се срещат естествено, на разбиране реалност. В теория на множествата, които са част от структурите, описани в предишните раздели, има и официално призната система --- Zermelo Fraenkel аксиоми.

Докажете континуум хипотеза --- тогава той се оттегли от тези аксиоми. --- опровергават това означава да се покаже, че ако тя се добавя към системата на аксиоми, получаваме набор от противоречиви изявления.

--- Г-н duckies, --- каза Фьодор Симеонович озадачен. --- Това е същия проблем Бен B-Веселеил. K-Cagliostro също се оказа, че не е N-р-решения.
--- Ние знаем, че не е решение, --- каза Хунта, oschetinivayas веднага. --- Искаме да знаем как да го решим.
--- K-след като сте странна причина, K-Кристо. K-как да се търси решение за, когато не е? B-глупости вид.
--- Съжаляваме, Теодор, но че вие ​​сте много странна причина. Глупости --- търси решение, ако това е така. Става въпрос за това как да се справят с проблема, че няма решение. Това е дълбоко фундаментален въпрос.
А. Стругацки. Борис Стругацки.
Понеделник започва в събота

Оказа се, че първият Хилберт проблемът е с напълно неочаквано решение.

През 1963 г. американският математик Пол Коен доказа, че континуум хипотеза не може нито да се докаже, нито отхвърлена.

Това означава, че ако вземете стандартна система --- Zermelo Fraenkel аксиоми (ZF) и към тях се прибавят континуум хипотеза като друга аксиома, можете да получите на последователна система от твърдения. Но ако добавите към ZF отрицанието на континуум хипотеза (т.е.. Д. Обратното е), а след това отново да се получи последователна система за отчети.

По този начин, нито хипотезата континуум нито си отрицание не могат да бъдат получени от стандартните аксиоми на системата.

Това заключение е направено много силен ефект и дори отразена в литературата (вж. Девиз).

Как може да се направи с тази хипотеза? Обикновено това е само прикрепен към системата --- Zermelo Fraenkel аксиоми. Но всеки път, когато нещо се докаже, въз основа на континуум хипотеза, бъдете сигурни, за да покаже, че тя е била използвана в доказателството.

1 Vilenkin Н. Ya. Истории за комплекта. М. Science, 1965.

2 0 (следва: "Aleph нула") - стандартна нотация за капацитета (брой елементи) на комплекта.

3 Бернард Болцано (1781--1848) --- чешки математик.

4 Георг Cantor (1845--1918) --- немски математик.

5 колектора печати.