По части непрекъсната функция, примата

За да се разбере по-добре представени по-долу материал, моля обърнете се към темата "Фурие серия".

Фурие неразделна формула

Ако интервал $ \ наляво [-l, Г \ полето], $, на която функция $ е \ ляво (х \ дясно) $ разширена в тригонометрични увеличава серия Фурие за неопределено време, т.е. $ \ СтрелкаНадясно + \ infty L, $ Фурие превръща в интеграл на Фурие. В прехода към границата има качествен скок: функция дефинирани по всеки ограничен интервал $ \ наляво [-l, Г \ полето] $ разширява в "хармоничен осцилатор" честота на които образуват дискретни последователност; функция $ е \ лявата (х \ полето), $ даден през ос $ х $ или полуосите $ х, $ разлага в неразделна, което представлява сумата от "хармоничен осцилатор" честота, която непрекъснато запълване на действителната ос $ 0 \ ле \ ламбда \ ле + \ infty. $ Помислете за това преминаване на границата на Фурие серия за интеграл на Фурие.

Забележка. Припомнете си, че функция $ е $ е по части гладка на интервал $ \ наляво [а, б \ полето], $, ако:

• $ F $ непрекъснато във всички точки, с изключение може би на определен брой точки $_<1>,\ точки,_\ В \ ляв (а, б \ вдясно). $
• $ \ Forall I = 1 \ точки, п \ четири \ съществува е \ наляво (_\ Pm 0 \ полето), \ четири е \ наляво (а + 0 \ полето), \ четири е \ лявата (Ь-0 \ дясно). $
• $ F $ - е диференцируема във всички точки, с изключение може би на определен брой точки $_<1>,\ точки,_.$
• $ \ Съществува е ^<\prime>\ Left (_\ Pm 0 \ дясно). $ Нека $ е \ наляво (х \ дясно) $ даден през $ х $ ос и всеки краен сегмент $ \ наляво [-l, Г \ полето] $ е по части гладка. След това, въз основа на основното теоремата за конвергенция на тригонометрични серия Фурие, за всеки $ л> 0 $ $$ е (х) = \ Frac <_<0>><2> +\ Сума _^<+\infty><\left( _\ защото <\frac > +_\ грях <\frac > \ Десен)> \ четириядрен \ ляво (1 \ вдясно) $$
  където остави $$ \ (2 \ вдясно) \ четириядрен \ започне_<0>= \ Frac <1> \ Int \ limits_<-l>^ г \ XI. \\ _= \ Frac <1> \ Int \ limits_<-l>^ г \ XI. >> \\ _= \ Frac <1> \ Int \ limits_<-l>^ г \ XI. >> \ край $$
  Равенство $ \ наляво (1 \ дясно) $ възниква, ако $ х $ - вътрешна точка на сегмент $ \ наляво [-l, Г \ полето] $ където $ е \ лявата (х \ дясно) $ непрекъснато; ако $ х $ - вътрешна точка на сегмента, в която $ е \ лявата (х \ дясно) $ е прекъснат, тогава лявото крило (1 \ дясно) $ $ е \ лявата уравнението $ \ ляво (х \ дясно) $ е необходимо заменен от $ \ Фрак <2>.$
  Заместването изразите $ \ левия (2 \ дясно) $ в $ \ наляво (1 \ полето), $ получи $$ е \ наляво (х \ дясно) = \ Frac <1><2l> \ intop_<-l>^ +\ Фрак <1> \ Сума _^<+\infty><\intop_<-l>^> \ Left (\ XI-X \ вдясно) г \ XI >>. \ Quad \ ляво (3 \ вдясно) $$
  Ако $ е \ ляв (х \ вдясно) $ и по абсолютно интегрируеми върху реалната линия $ х, $ т.е. $$ \ intop_<-\infty>^<+\infty><\left| f\left(x\right) \right| dx> = Q<+\infty, \quad \left(4\right)$$
  След това отидете на лимит $ л \ стрелкаНадясно + \ infty $, първия мандат в страничната $ \ ляво дясно (3 \ вдясно) $ от $ състояние \ ляво (4 \ вдясно) $ клони към нула. Следователно $$ е \ наляво (х \ дясно) = \ _ Лим<\frac <1> \ Сума _^<+\infty><\intop_<-l>^> \ Left (\ XI-X \ вдясно) г \ XI>. >> \ четириядрен \ ляв (5 \ вдясно) $$ Нека $ \ Фрак =<\lambda>_,$ $ \ Фрак <\pi> =<\Delta \lambda>_.След $ $ \ лявата (5 \ дясно) $ може да бъде пренаписана под формата $$ е \ наляво (х \ дясно) = \ _ Лим<\begin l\rightarrow +\infty \\ \Delta <\lambda>_\ СтрелкаНадясно 0 \ край><\frac <1><\pi>> \ _ Сума^<+\infty><\Delta <\lambda>_> \ Intop_<-l>^_> \ Left (\ XI-X \ вдясно) г \ XI>. \ Quad \ наляво (6 \ вдясно) $$
  Ние твърдим, слабо:

Равенството $ \ наляво (7 \ вдясно) $ се нарича интеграл на Фурие формула и интеграла в дясната част от него, - или интеграл на Фурие двоен интеграл на Фурие

Обосновка на Фурие неразделна формула

Равенството $ \ наляво (7 \ вдясно) $ е получена чрез официални гранични преходи, които не са доказани.
Вместо това те се оправдае, по-лесно да се докаже пряко равенство $ \ ляво на (7 \ вдясно). $

Забележка. Основната теорема на Фурие неразделна и валидно при по-слаби ограничения за функция $ е \ ляво (х \ вдясно). $ А именно, ако е абсолютно интегрируеми върху реалната ос $ х $ функция $ е \ ляв (х \ вдясно) $

• по части непрекъснато на всеки краен сегмент от оста на $ х $
• съотношението на $ \ напусна | \ Фрак <\zeta> \ Право | $ ограничена за всяка фиксирана $ х $ за всички достатъчно малко $ \ зета, $ основните теорема остава валиден.

Наистина, доказателството на основната теорема е намалена с оценката на трите интеграли: $_<0,\delta>,_<\delta ,\Delta>,_<\Delta ,+\infty>$ До $_<0 ,+\infty>.$ Последният от тези три интеграли малък за достатъчно голяма $ \ Delta, $ поради абсолютната integrability от $ е \ наляво (х \ вдясно). $ $ Интеграл_<0,\delta>$ Small за всички достатъчно малки $ \ делта> 0 $, ако се остави съотношението на $ \ | \ Фрак <\zeta> \ Право | $ Граничи за всеки фиксиран $ х $ за всички достатъчно малки $ \ зета> 0. $ В интеграла е $$_<\delta ,\Delta>= \ Frac <1><\pi> \ Остане отгоре _<\delta>^<\Delta><\frac <\zeta> \ грях г \ зета> $$ функция $ \ varphi \ наляво (\ зета \ дясно) = \ Frac <\zeta> $ По части непрекъсната в интервала $ 0<\delta \le \zeta \le \Delta $ при любом фиксированном $x.$ Пусть $\left[ a,b \right] $ — какой-либо сегмент, на котором $\varphi \left(\zeta \right)$ непрерывна, и пусть дано какое угодно $\varepsilon>$ 0. Ние изгради по части гладка функция $_<\varepsilon>\ Left (х \ вдясно) $ (както в доказателството за първи Вайерщрас теорема), че неравенството $$ \ напусна | \ Varphi \ ляво (\ зета \ дясно) -_<\varepsilon>\ Left (\ зета \ вдясно) \ десен | <\frac <\varepsilon><2\left(b-a\right)>,\ Quad 0<\delta \le \zeta \le \Delta .$$ Но тогда $$\left| \int _^<\varphi \left(\zeta \right)\sin г \ зета> \ десен | \ Le \ остане отгоре _^<\left| \varphi \left(\zeta \right)-_<\varepsilon>\ Left (\ зета \ вдясно) \ десен | г \ зета> + $$ $$ + \ напусна | \ Остане отгоре _^<_<\varepsilon>\ Left (\ зета \ вдясно) \ грях г \ зета> \ десен | <\frac <\varepsilon><2> +\ Фрак <\varepsilon><2> = \ Varepsilon \ четири $$ за достатъчно голям $ л \ ge0, $ така за по части гладки функции $_<\varepsilon>\ Left (х \ вдясно) $ държи основната лема. Разделянето на интегралната $ _<\delta ,\Delta>$ На интервали сегменти приемственост $ \ varphi \ ляво на (\ зета \ вдясно), $ получи, че $_<\delta ,\Delta>\ СтрелкаНадясно 0 $ за $ л \ стрелкаНадясно + \ infty, $, което завършва доказателството на теоремата.