Писмено в матрицата образуват системата
А - матричните коефициенти на променливите или матрична система X - променливи колонна редица, В - на матрични без членове колона.
защото броя на колоните е равен на броя на редовете на матрицата, а след това им продукт:
Има матрица колона. Елементите на матрицата се получават лявата страни на първоначалната система. Въз основа на определението за матрица равенство първоначалната система може да се запише като :.
теорема на Креймър. Да - matritsysistemy детерминанта, на една детерминанта на матрицата, получена от matritsyzamenoy тата колона на свободните членове на колона. След това, ако системата има уникално решение изчислява по формулата:
Пример. Решаване на система от уравнения с правило Крамър
R е т н д. В детерминанта на матричната система. Следователно, системата има уникално решение. Изчисляваме получава izzamenoy съответно първо, второ и трето членове на колони безплатно колона:
По правило Креймър:
.
№7Metod Гаус - метод на последователните елиминиране на променливи.
метод на Гаус се състои в това, че с помощта на елементарни трансформации на редове и колони пермутация уравнения система е еквивалентна на системата от етап (или триъгълна) форма, от които последователността започва от последната (по брой) от променливите са всички други променливи.
трансформация Гаус се провежда не от уравнения, но с разширена матрица на коефициентите, получени чрез приписването на matritsestolbtsa свободни членове:
.
Трябва да се отбележи, че методът на Гаус може да реши всяка система от уравнения.
Пример. Метод на Гаус за решаване на системата:
Пишем по разширената матрица на системата.
Стъпка 1: размяна на първа и втора линия, за да станете равен на 1.
Етап 2. размножават първия ред на елементите на (-2) и (1) и ги добавете към елементите на втори и трети линии за по елемент в първата колона образувани нули.
Етап 3. Умножаване елементи на третия ред (-0.5).
Стъпка 4. разменят втория и третия редове.
Стъпка 5. разменят втория и третия стълб. (Етапи 3, 4, 5 са дадени, за да).
Етап 6. елементи на втория ред се умножава по 3 и добавят към трети елементи ред, докато при появява нула елемент.
(Наречен разширена система матрица).
Увеличен матрица се редуцира до триъгълна форма. Съответната система е както следва:
От последното уравнение; от втората; от първия.
№8Sistema уравнения
Системата на m линейни уравнения в п променливи е от вида:
произволни числа, наречени съответно коефициентите на променливите и
- безплатни отношение на уравнения.
Разтвор на (1) е тези определени числа п
,
при заместване, които всеки уравнение на системата се превръща в истинско равенство.
Kronecker - Capelli - критерия за съвместимост на системата от линейни алгебрични уравнения:
Системата на линейни алгебрични uravneniysovmestnatogda и едва kogdarangeo основната матрица е равен на ранга на своя разширената матрица, със системата има уникално решение, ако в ранг е равен на броя на неизвестни и безкраен брой решения, ако ранг е по-малко от броя на неизвестни.
1) Ако съществува разтвор, свободни членове на колоната е линейна комбинация от колоните на матрицата и по този начин добавянето на тази колона в матрицата, т.е. преход AA * не се променят в ранг.
2) Ако Rga = Rga *. това означава, че те имат едни и същи основни непълнолетния. свободни членове на колона - линейна комбинация от колоните на основата на непълнолетния, тези верни записа горе.
Пример. Определяне на съвместимостта на системата от линейни уравнения:
.
Пример. За да се определи съвместимостта на система за линейни уравнения.
А = 2 = + 12 = 14 0;
системата е последователна. Решения: Х1 = 1; Х2 = 1/2
№10 хомогенна система линейни уравнения се нарича система на формата:
Нула разтвор на система (1) се нарича тривиално решение.
хомогенна система винаги е в съответствие, като винаги има тривиално решение.
Ако има някаква различна от нула решение на системата, а след това той се нарича не е тривиален.
хомогенни системни решения имат линейност имота: теорема (на линеен разтвор на хомогенни системи).
Нека - разтвори на хомогенна система (1), - са произволни константи. След това също е решение на системата.
Формулиране на теорема, която ще даде основна дефиниция:
Теорема (на общото решение на структурата).
ако. където - броят на променливите в системата, има само един тривиален решение;
ако. има линейно независими решения на системата. А общото му решение е. където - са константи.
Нека хомогенна система се прилага (1), след това се определя размера на вектори се нарича основната система на разтвори (FSS) (1), ако:
- Система разтвори (1);
Нека ранга на основната матрица. където - брой променливи на системата (1), а след това:
SRF (1) има :;
Тя се състои от векторите;
общото решение е дадено.
Ако. на SDF не съществува.
това Препишете в матрична форма:
Чрез елементарни преобразувания на редовете ние я дам на основната матрица да ешелон форма:
Така система ранг (класира своята основна матрица) е две. Това означава, че има система за линейно независими решения.
Препишете получената система уравнения под формата:
Вземи в като основна променлива. След това:
Ние заменен с устройството се като един от най-свободните променливи и.
Тогава общото решение на системата може да се запише като:
и вектори представляват основната система на решения.
Хомогенна система от уравнения
Предложение 15.2 хомогенна система от уравнения
винаги заедно.
Доказателство. За тази система, набор от числа. Това е решение.
В този раздел, ние ще използваме матричната система нотация. Предложение 15.3 Количеството на разтвори на хомогенна система от линейни уравнения е решение на тази система. Решението, умножена по броя, също е решение.
Доказателство. Да предположим, че са решения на системата. След това. Да. след това
Тъй като. след това - разтвор.
Да - на произволен брой. след това
Тъй като. след това - разтвор.
Следствие 15.1 Ако хомогенна система от линейни уравнения има nontrivial разтвор, след това има безкраен брой различни решения.
В действителност, различна от нула умножи решение за различен брой ще получите най-различни решения.
Определение 15.5 Ние казваме, че разтворите на системата образуват основна система на разтвори, ако колоните образуват линейно независими система и всеки разтвор е линейна комбинация от тези колони.
Определение 15.6 Let - основен система на разтвори на хомогенна система. Тогава изразът
където - произволни числа ще се нарича общото решение на системата.
От дефиницията на основната система на решения следва, че всяко решение на хомогенна система може да бъде получена от общия разтвор за някои стойности. Обратно, за фиксирани цифрови стойности от общия разтвор се получи разтвор на хомогенна система.
Как да намерите фундаментална система от решения, ние ще видим по-късно, в раздел "алгоритъм за намиране на решения на произволна система от линейни уравнения (Гаус)."
Теорема 15.3 Да - фундаментална система от решения на хомогенна система. След това. където - броят на неизвестни в системата.
Доказателство могат да бъдат намерени, например в [1].
№11. Умножение на вектор от редица
Продуктът от ненулева вектор и броят на X = / = 0 е вектор, чиято дължина е равна на | х | • | и | и посока съвпада с посоката и, ако х> 0, и противоположно на това, ако х <0.
Продуктът на вектора на нулев от произволен брой х и продукта от всеки вектор в числото нула се нарича нулев вектор.
Векторът на продукта и броя х е обозначена като х • (числен коефициент, написан в ляво).
Според определението | х • и | = | х | • | и | и за всеки вектор и произволен брой х.
Фиг. 18 показва вектор продукт на броя на х = 2 (вектор CD>) и номер х = -2 (вектор EF>) на.
Умножение на вектор на броя има следните свойства:
1. асоциативен (асоциативен)
• х (у • а) = (х • у) • с.
2. разпределителни собственост (разпределение) спрямо вектор мултипликатор: • х и + у • а = (х + у) • с.
3. Имот Distributivity (разпределение), във връзка с числен коефициент:
Ха + х • • б = х • (А + В).
Ако = 0 или XY = 0, тогава уравнението х (те) = (X), както е очевидно, тъй отляво и отдясно са нула vektory.Pust а = / = 0, XY = / = 0 и = OA>. Тогава векторите х (у • ОА>) и (XY) ОА> лежат на линия ОА>, са с дължина | х | • | у | • | OA> | и в същата посока: в посока на вектор = ОА>, ако XY> 0, и в обратна посока, ако XY <0. Таким образом, свойство 1 доказано.Свойства 2 и 3 доказывать не будем. Заметим лишь, что свойства 1 и 2 являются свойствами векторов на прямой. Они уже доказывались в курсе геометрии восьмилетней школы. Свойство 3 является свойством векторов на плоскости; оно тоже было доказано.
Задача. В успоредник ABCD точка М е пресечната точка на диагоналите. Намерете най-фактор к във всеки един от следните случаи:
1) M C> = к • CA>; 2) BD> = к • BM>; 3) AC> = к • CM>;
4) BB> = к • BD>; 5) AA> = к • СС>.
В съответствие с дефиницията на вектор размножаването на брой, имаме (фиг. 19)
1) M C> Калифорния>. | CA | = 2 • | MC |, където к = - 1/2;
2) BM> BD>, | BD | = 2 • | BM |, която к = 2;
3) CM> AC>, | CM | = 1/2 • | AC |, която к = -2;
4) BB> = 0, BD> = / = 0, където к = 0;
5) AA> = 0, СС> = 0, където к - произволен брой.
Векторите в равнината и в пространството