Основните закони на разпределение на непрекъснати случайни величини
1.Ravnomernoe разпределение. Разпределението на вероятност на непрекъсната случайна променлива X, получаване на всички негови стойности в интервала [а, б], наречен хомогенен, ако неговата вероятност плътност е константа на този сегмент и е равно на нула, т.е.
Но тъй като е добре известно (виж точка 2.5, точка 2),
От сравнението на (2.20) и (2.21) получаваме с =
Така вероятността плътност на непрекъсната случайна променлива X се разпределя равномерно върху интервала [а, б], има формата
Пример. На интервала [а, б], случаен точка .Kakova посочва вероятността, че тази точка ще бъде в лявата половина на сегмента?
Ние означаваме с X случайната променлива, равна на координатната на избраната точка. X е разпределена равномерно (това е точното значение на думите "на произволна точка до точка"), както и средата на сегмент [а, б], има координата. необходимата вероятността е (виж параграф 2.5, параграф 2):
Този резултат обаче беше ясно от самото начало (виж точка 1.2, т.1).
2.Normalny закон разпределение. Законът на вероятностно разпределение на непрекъсната случайна величина X се нарича нормален закон. или правото на Гаус [1], ако неговата плътност е вероятност
където е константа, а.
Нека покажем, че функцията (2.22) удовлетворява (2.17). Наистина ще интеграла (2.23)
Към нова променлива т = (2.24)
Но (виж Приложение 1).
Следователно неразделна (2.23) е равен на единица.
Последната сума се поема всички стойности на x1 получени случайна променлива X. Следователно (вж. § 2.2, стр. 1)
Използване на свойствата на дисперсия (§ 2.3, п. 2) и състоянието на теорема, получаваме
Следователно, с оглед на (2.35) и факта, че вероятността за всеки случай да не надвишава една (§ 1, стр. 3), получаваме
И накрая, като се обърна в (2.36) до краен предел, както н → ∞, при движение на необходимата връзка (2.34).
Специален случай на теоремата Chebyshev му. Ако всички A * имат същото очакването на М (X1) =. М = (Xn) = А и D (Хк)<с, k= 1. n, то
Всъщност, предпоставката за конкретния случай на уравнението (2.34) има формата (2.37).
Същността на теорема Chebyshev е както следва. Въпреки факта, че всеки един от независими случайни променливи X к може да вземе стойност далеч от очакването, M (Хк), средноаритметичната стойност на достатъчно голям брой от случайни величини с висока степен на вероятност е много близко до средното за Ариф-meticheskomu техните математически очаквания.
теорема Chebyshev е от голямо практическо значение. Да предположим, например, да се измери някои физични величини. Обикновена-но вземат като желаната стойност на измерените стойности на средната аритметична стойност на няколко измервания. WMS, но смятаме, че този подход е правилно? Chebyshev теорема (често случай) отговаря на този въпрос утвърдително.
Chebyshev въз основа на теоремата е широко използван в метода на тик-извадка Статис, според която при сравнително високо не-случайна извадка за решение относно общия брой на обектите. От теорема Chebyshev му (специален случай) трябва теорема на Бернули, който е най-простата форма на закона за големите числа.
теорема на Бернули. Нека m е броят на поява на събитието A в п независими проучвания и р е вероятността на протектора-TION на събитие във всеки от тестовете. След това, независимо от положителния брой,
Доказателство. Xk обозначи случайна променлива равен на броя на случаи на събитие А в к-тия опити, където к = 1, 2 п. След това, ние имаме (§ 2.4, стр. 1)
и всички условия на специалния случай на теоремата Chebyshev са изпълнени. Уравнение (2.37) се превръща в уравнение (2.38).
Практическото значение на теоремата на Бернули е както следва: в пост-yanstve вероятност за случаен събитие А във всички тестове с неограничен увеличение на броя на тестовете вероятно можете да Стю произволно близо до единство (т.е. произволно близко до сигурност ..), твърдят, че наблюдаваното относителен Тот-часова случайна събитие по някакъв начин ще се отклонява малко от неговата вероятност.
§ 2.9. Гранични теореми на теорията на вероятностите
1. Централното лимит теорема. Както вече бе отбелязано, нор-вено разпределени случайни величини са широко Рас prostranenie на практика. Обяснението за това дава централната лимит теорема, вариант формулировка принадлежи български математика A. М. Lyapunovu (1857-1918). Същността на Централна Limit теорема е както следва: ако стойността на чай-SLE X представлява сумата от много голям брой независими случайни величини, въздействието на всеки от които цялата сума е незначителна, а след това X има разпределение близо до нормалната план.
Присъства без доказателства (доказателство виж Реф. [3]), централната лимит теорема за съдебната идентично разпределени случайни променливи.
Теорема. Ако X1. X2. Xn са независими случайни величини HN като същото разпределение с очакване математическата-niem # 945; и вариацията # 963; 2. тогава неограничен увеличението п количеството на закона за разпределение на X = X1 + X2 +. + Xn произволно близко до нормалното.
2. местно и неразделна лимит теорема на Лаплас на.
Ако броят на проучвания н е голям, формулата за изчисление на Бернули става трудно. * Лаплас е важен сближаване формула за изчисляване на вероятностите Pn (m) събития на точно м пъти, ако п - достатъчно голям брой. Той също така получава приблизителна формула за размера на формата
Местен лимит теорема на Лаплас. Нека р = P (A) - вероятността за събитие с 0 функция # 966; (х), маса (виж Приложение 2) Стойностите за положителни стойности на х [функция. # 966; (X) е дори]. Уравнение (2.39) се нарича Лаплас формула. Пример 1. убие вероятност стрелец когато ODI предназначение нощ удар р = 0,2. Каква е вероятността, че при 100 Ти-стрели мишена ще бъде унищожен точно 20 пъти? Тук, р = 0,2, р = 0,8, п = 100 и m = 20. Следователно, Пример 2. вероятността, че продуктът не се проверява ОТС-ку, р = 0.2. Нека да се намери вероятността, че сред 400 произволно избрани членове ще бъде нерегистриран 70-100. Тук, п = 400, к = 70, L = 100, р = 0,2, р = 0,8. Следователно, от РА равенства (2.44) XK = -1,25, XL = 2,5 и съгласно формула (2.46) Забележка: Имайте предвид, че местните и неразделна предварително разумно Лаплас теорема понякога се нарича местните и неразделна-рална гранични теореми * Moivre - Лаплас. 3. Разпределение на случайни грешки при измерването. Нека Xia провежда измерване на някои количество. Разликата х-а между резултатите от измерването, че X и действителната стойност и измерената стойност се нарича измерване грешка. Поради влияние върху измерванията зададена голям брой фактори, които не могат да бъдат взети под внимание (случайни промени в температурата, устройството за вибрация, грешки, произтичащи от закръгляване и м. П.), грешка в измерването може да се счита сумата от голям брой независими случайни величини, който е централната лимит теорема трябва Това е разпределението-допринесъл нормално. Ако това не бъде систематично влияещи фактори (например повреда на устройствата, преувеличава при всяко измерване четения), което води до систематична грешка камери, тогава очакването на случайната грешка е нула. Така, приема позицията: при липса на систематична грешка на измерване експлоатационни фактори е случайна променлива (обозначен с Т), нормално разпределени, с мат-математическо очакване е нула, т.е. плътността на вероятността VE-маски Т е .. където # 963; - средната квадратен отклонение на T-герой свързващо вещество се разпространява по резултатите от измерването на измерваната величина. Резултатът от измерването е случайна променлива (означен с X), свързан с зависимостта на Т = X # 945; + Т. Следователно: M (X) = # 945;, # 963; (X) = # 963; (T) = # 963; и X е нормално разпределение. Имайте предвид, че случайната грешка на измерване, както и на резултатите от измерванията, винаги се изразява в някои цели единици против стъпка, свързана с мащаба на метър; в теорията на случайната грешка удобно да се предположи, непрекъсната случайна величина, която опростява изчисленията. При измерване на двете ситуации са възможни: а) известен # 963; (Тази характеристика устройство и комплекс състояние, Wii, в който се извършват измерванията) се изисква в резултат на б) # 963; не са известни, е необходимо да се направи оценка на резултатите от измерванията Разглеждане на тези ситуации по време на физически измерима рений ще бъде посветен на § 4.3 1. Нека случайната променлива X- брой точки пусна в тъч syvanii зарове. Намерете закона разпределение на случаен принцип, се нарежда X. 39. Като се вероятността от раждането на едно момче и едно момиче, едно и също, намери вероятността, че сред четирите новородени 2 момчета. 40. Вероятността от удари мишена чрез изпичане от пистолети р = 0,6. Намерете най-математическото очакване на общия брой на попадения, ако прекарвате 10 изстрела. 41. Намерете очакването на броя на лотарийни билети, които ще падне върху печалбите, ако сте закупили 20 билети, вероятността за спечелване на един билет е 0.3. 42. Виж разсейването на случайна променлива X - броя на случаи на събитието A 100 независими проучвания, във всяка от които вероятността за събитие А е равно на 0,7. 43. Find: а) очакването и б) вариацията на броя на дефектните елементи в партидата от 5000 позиции, ако всеки продукт може да е повредена, с вероятност 0,02. [A) 100 продукти; б) 98] 44. държани 10 независими изпитвания, във всеки от които вероятността за събитие А е 0.6. Вземете вариацията на случайна променлива X - броя на случаи на А в тези тестове. 45. Виж разсейването на случайна променлива X - броя на случаи на А в две независими изследвания, когато М (X) = 0,8. 46. Нарастването на зряла жена е случайна променлива нормално разпределена с параметри: А = 164 см, S = 5,5. Намерете вероятността плътност на тази величина. 47. случайна променлива X има нормално разпределение. Средна и стандартно отклонение от тази стойност са съответно 0 и 2. Виж вероятността, че X приема стойността принадлежащи на интервала (-2, 3) 48. случайна променлива X има нормално разпределение. Средна и стандартно отклонение на тази величина са съответно 6 и 2. Виж вероятността, че X приема стойността принадлежащи на интервала (4, 8). 49. Нека теглото на уловената риба е обект на нормалната закона с параметри, а = 375 грам; S = '25 Намерете вероятността, че теглото на уловената риба ще бъде 300-425 50. Заготовка диаметър, произведени в магазин, е разпределена случайна променлива обикновено. Дисперсия е 0.0001, и очакването - 2.5 мм. Намерете границите, в които сключват с вероятност от 0.9973 диаметър взето на случаен принцип части. 51. случайна променлива X има нормално разпределение. Стандартното отклонение на тази стойност е 0.4. Вземи вероятността случайна променлива X отклонението от очакването си, абсолютна стойност е по-малка от 0,3. 52. случайна променлива X има нормално разпределение. Стандартното отклонение на тази стойност е 2. Виж вероятността случайна променлива X отклонение от очаквания абсолютна стойност е по-малко от 0,1. 53. случайна променлива X подчинява нормално разпределение право 30 с очакването и дисперсията 100. Виж вероятността случайна променлива стойност се намира в интервала (10; 50). 54. Виж вариацията на X. предварително определена таблица на случайна променлива разпределение: 55. При разработването на масово производство вероятност нестандартен продукт е 0,01. Каква е вероятността, че една серия от 100 артикула на този продукт 2 продукти са нестандартни? 56. В завода дойде детайлите лица в количество от 1000 бр. Вероятността, че една част ще бъде дефектна, е равно на 0,001. Каква е вероятността, че ще има 5 сред дефектните части са пристигнали? 57. зарове хвърлят 80 пъти. Определете вероятността, че броят 3 се появява 20 пъти. 58. Поставете режим на процес, растението произвежда средно 70% от продуктите от първи клас. Определете вероятността, че през 1000 броят на първокласни продукти прави между 652 и 760. 59. вероятността от случайно събитие в отделен процес е р. Определяне на вероятността, че в п изпитвания събитие к пъти подред. 60. Брой докато хвърляне на зарове п броя на резултатите, в които определен ред възниква к пъти.
измервания за оценка на # 945 ;;
# 945; и # 963;.