Основните свойства на детерминанти

Ние се въведе понятието матрици: квадратни, диагонални, единични и нула.

Определяне квадратна матрица: квадратна матрица за п наречената матрица с размер п х п.

В случай на квадратна матрица се въвежда понятието основни и подчинени диагонали. Основният диагонал на матрицата е диагонал от горния ляв ъгъл на матрицата на свое долния десен ъгъл. По същия вторичен диагонал матрицата е диагонал от долния ляв ъгъл до горния десен ъгъл. Концепцията за диагонална матрица: диагонал се нарича квадратна матрица, в която всички елементи извън главния диагонал са равни на нула. Концепцията на матрица идентичност: единична (понякога означен с E I) се нарича диагонална матрица с такива по диагонала. Идеята за нула матрица: Нулева е матрицата, чиито елементи всички са равни на нула. Две матрици А и В се казва, че е равен (А = В), ако те са със същия размер (т.е., има същия брой реда и равен брой колони и съответните им елементи са равни). Така че, ако след това A = B, ако a11 = b11, a12 = b12, a21 = Б21, a22 = B22

2) Понятието детерминантата (Определяне на детерминанта на втория ред и п-Nogo поръчва Minor, кофактор)

Квадратна матрица на номер на поръчката постави в кореспонденция. е детерминантата на матрицата или детерминанта.

от втори ред, определящ фактор, наречен vyrazhenievida:

A11 на номера, ..., А22 наречен д л е т е т а м и детерминанта.

Диагонала оформени елементи a11; А22 се нарича г п и п-ти и диагонала образуван от А12 елементите; A21 - п на W о з п-ти.

По този начин, на втория ред разликата е равна на най-определящите елементи на основните продукти и по-диагонали.

Имайте предвид, че в отговор на броя на навивките.

Детерминанта на п-тия ред. съответната матрица
,
е алгебричната сума от условията, разпределени както следва: условията са всички продукти на елементите на матрицата, взети по един от всеки ред и всяка колона, терминът е взето със знак плюс, ако тя кодира представляват дори пермутация, и със знак минус - в обратния случай.
Забележка: това определение, за да обясни пример за трети ред определящ фактор, за които вече се знае формулата за изчисление.
.
1) "алгебрични сумата от неговите части." - И да, наистина, има шест условия.
2) "са термини всички възможни продукти на елементите на матрицата, взети един от всеки ред и всяка колона от" - помисли например срок. Неговият първи фактор е взета от втория ред, а вторият - от първия и третия от третия. Същото е и с колони - първия фактор на първата колона, а втората на третата и последната от втория.
3) ", а срокът е взето със знак плюс, ако индексът е дори пермутация и с минус - в обратния случай," - Помислете, например, условията (с плюс) и (знак минус).

Ние образуват пермутация, така че на първия ред са номерата на редовете на фактори, а във втория - номерата на колоните.
За този термин. (Първата колона - индексът на първия фактор, и т.н.)
За този термин. ,
Ние определяме паритета на пермутации:
а) - елементите в първия ред са в ред. Вторият ред на ред са чифт:
2 наляво 1 - една двойка,
3, левият 1-1 двойка.
Общо две двойки, т.е. броят на двойките е още, тогава Първообразът е още, и по този начин, терминът трябва да бъдат включени в сумата със знак плюс (както е в действителност).
б) - елементите в първия ред са в ред. Вторият ред на ред са чифт:
2 наляво 1 - една двойка.
Общ брой на двойки числа, с лице, така че по-ляв-ниска - 1 бр. т.е. странно, и по този начин се нарича странно пермутация, и съответния план трябва да бъдат включени в сумата със знак минус (да, това е).
Пример ( "Проблеми в алгебра" Ed AI Kostrikina, №1001.):

Разберете кои от тези творби са включени в подробния израз на детерминанти на съответните заповеди и с някои признаци.
а)
Обърнете внимание на част opredelnie "един от всеки ред и всяка колона." Всички първите кодове фактори варират от 1 до 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Всички индекси втори фактори варират от 1 до 6, (3, 2, 1, 4, 5, 6).
Заключение - Тази работа е част от по-подробна израз на 6-ти определящ фактор на поръчката.
Определяне на знака на срока, за тази форма пермутация на индексите на факторите:

3 наляво 2, 1 - две двойки
2 наляво 1 - една двойка,
6 ляво 5, 4 - две двойки
5 наляво 4 - една двойка.
Общо 6 двойки, т.е. пермутация на дори и терминът е част от подробен запис на детерминанта с "плюс".

б)
Всички първите кодове фактори варират от 1 до 5 (3, 1, 5, 4, 2). Всички индекси втори фактори варират от 1 до 5 (1, 3, 2, 5, 4).
Заключение - Тази работа е част от по-подробна израз на 5-ти фактор, определящ реда.
Определяне на знака на срока, за тази форма пермутация на индексите на факторите:

Размествам колоните, така че числата в първия ред са подредени от най-малкия до най-големия.

3 отляво на 1, 2 - две двойки.
4 наляво 1, 2, - две двойки
5, наляво 2 - една двойка.
Общо 5 двойки, т.е. странно пермутация, а срокът е част от подробен запис на детерминанта със знака "минус".
в) - Обърнете внимание на първата и шестата факторите и. Те и двете са от четвъртата колона, и следователно, тази работа не може да бъде включен в разширената експресията на 7-ия детерминанта на ред.

Мала и кофактор

Мала да елемент детерминанта е детерминантата на ред тата за получен от източника чрез изтриване на ред Ith и к-тата колона.

Cofactors към елемент, определящ е броят на поръчка

Сумата на продукти от елементи "произволни" ред на елементите кофактори тият ред на детерминанта е равна на детерминанта, в която вместо тият ред се записва "произволни" ред.

Сума от продуктите от редове определящи елемент на кофактори на елементите на друг ред е нула.

Основните свойства на детерминанти.

Всичко, което се казва, че част от линиите ще се прилага в колоната.

1 ° му детерминанта не се променя от транспониране квадратна матрица:

2 ° Общият фактор в линията може да се приема като знак за определящ фактор.

Това е, ако квадратна матрица от ред се умножава по не-нулево число. детерминантата на получената матрица продукт е детерминантата на оригиналната матрица на броя на мощност, равна на реда на матриците.

4 ° Ако всеки елемент във всеки ред на детерминанта е равна на сумата от двете условия, оригиналната детерминанта е равна на сумата от два детерминанти в който, вместо тази линия са първи и втори условията, съответно, и останалите линии съвпадат с оригиналния детерминанта.

5 °, ако детерминантата на два реда са разменени, промените, определящи промените подписват.

6 ° детерминанта с две равни редове е нула.

7 ° детерминанта с две пропорционални редове е нула.

8 ° детерминанта, съдържаща нула низ е нула.

9 ° детерминанта не се променя, ако за някои от неговата линия, за да добавите друг ред, умножени по някакъв номер.

10 ° детерминанта горната (нисш) триъгълна матрица е равна на произведението на неговите диагонални елементи.

11 ° детерминанта на продукт на матрици е продукт на фактори: