Ортогонално система от функции - това

Ортогонално система от функции

Системни функции М (х)>, п = 1, 2, ортогонални р тегловното (х) в интервала [а. Ь], т. е., такива, че

Примери. Тригонометрични система 1, cosnx. NX грях; п = 1, 2. - О. С. е. с тегло 1 върху интервала [-я, π]. Bessel функции - 1/2 ° С. е. х с тегло в интервала [0, L].

Ако всяка функция φ (х) О. С. е. е, че

Систематичното изследване на О. в. е. Тя стартира във връзка с метода на Фурие за решаване на гранични задачи на математическата физика. Този метод води, например, до намирането на решения Sturm - Liouville проблем (виж Sturm -. Liouville проблем) за уравнението [ρ (х) у ']' + р (х) Y = λu. отговарят гранични условия у (а) + HY "(а) = 0, у (б) + Ну" (б) = 0, където Н и Н - постоянна. Тези решения -. Sc. eigenfunctions на проблема - да се образуват О .. е. с р тегловното (х) в интервала [а. Ь].

Един изключително важен клас О. С. е. - Ортогонални полиноми - отворени P. L. Chebyshev то в изследванията си на метода на интерполация на най-малките квадрати, и проблемът на моменти. През 20-ти век. проучвания за О. С. е. извършва главно въз основа на интегралната теория и мярката Lebesgue. Това допринесе за разпределението на тези изследвания, независим клон на математиката. Един от основните проблеми на теорията с ОА. f.- проблем на разширяването на F функция (X) в серия от формата

Коефициентите CN. наречените коефициенти на Фурие по отношение на система N (X)>, имат следното крайно имота: линейна форма

Тя е най-малката стойност в сравнение с грешка се дава при същите п други линейни изрази на формата

Няколко Σ ∞ п = 1Cn φn (х), чиито коефициенти Cn. изчислява по формулата (*) се нарича серия Фурие на е (х) нормализира от О. С. е. N (X)>. За приложения, е от първостепенно значение въпрос се определя дали уникален функция F (х) от нейните Фурие коефициенти. О. S. е. до която това се случи, се нарича пълна, или затворен. Условия за затваряне с ОА. е. Тя може да бъде дадено на няколко равностойни форми. 1) непрекъсната функция е (х) може да бъде която и да е степен на точност средното приблизително от линейни комбинации от функции φk (х), т.е. ∞ п = 1Cn φn (х) клони в средната стойност на функцията F (х)]. 2) За всяка функция е (х), чиято квадратен интегрируеми по отношение на теглото р (х), състоянието е затворен Lyapunov - Steklov:

3) има ненулева функция интегрируеми на интервала [а. Ь] квадратен перпендикулярна на всички функции, п = 1, 2, φn (х).

Ако говорим за квадратен интегрируеми функция като елементи на пространството Хилберт (Вж. Хилберт пространство), а след това се нормализира с ОА. е. ще координатни системи на базисни вектори на това пространство, и разширяването на броя на нормализирана О. S. е. - разширяване на вектора на базисни вектори. При този подход, много от понятията на теорията на Normed О. с. е. стана ясно, геометрична значение. Например, формула (*) показва, че прогнозния вектор върху вектор единица е равен на вътрешния вектор продукт и вектор единица; Lyapunov уравнение - Steklov може да се тълкува като питагорова теорема за безкрайно пространство: квадрата на дължината на вектора е сума от квадратите на прогнози си върху осите; О. изолация с. е. означава, че най-малката затворен подпространството съдържащ всички вектори на тази система, цялото пространство и т.н.

Lit:. Толстов GP Фурие серия, 2-ро издание. М. 1960; Natanson I. P. Конструктивно теория на функциите, М. - L. 1949; неговата същата теория на функциите на една реална променлива, 2-ро издание. М. 1957; серия Джаксън Г. Фурие и ортогонални полиноми, транс. от английски език. М. 1948 Kaczmarz S. Steinhaus, теорията на ортогонална серия, транс. с него. М. 1958.

Голяма съветска енциклопедия. - М. съветски енциклопедия. 1969-1978.

Вижте какво "ортогонална система от функции" в други речници:

Ортогонална система функционира - (otgrech orthogonios правоъгълна.) Краен или броими система F ции. принадлежност (отделими окабеляване) към пространство L2 Хилберт (а, Ь) (квадрат интегрируеми ции е) и F удовлетворява ЛИЗАЦИЯ г (х) се нарича. тегло О. S. е., * е ... ... Физическо енциклопедия

Ортогонално система от функции - функции на системата. п (х). п = 1, 2, определена на интервал ортогонална трансформация линейна трансформация на вектора пространство Euclidean, запазва непроменена или дължина (което е еквивалентно на това) на скаларен продукт на вектори ... Голям Енциклопедичен речник

ортогоналната функция система - системни функции, п = 1, 2, определена на интервала [а, Ь] и отговаря на следното условие ортогоналност: ако к ≠ л, където ρ (х) е функция, наречена тегло. Например, тригонометрични система 1, грехът х, COS х, грехът 2X, ... ... академично издание на речника

Ортогонална система функционира - F ции система, п = 1, 2, определена на интервала [а, Ь] удовлетворява следното, състоянието на ортогоналност когато К не е равно на L, където р (х) е определен рай ЛИЗАЦИЯ се нарича. тегло. Напр. тригонометрични. Система 1, грехът х, палка, грехът 2, защото 2x. O.s.f. с тегло ... ... Natural. Collegiate речника

Пълните функции система - като системни функции F = определени за интервала [а, б], че няма функция е (х), за които X) на F, т.е., за които, за всяка функция φ (х) на .. F (интеграли са Lebesgue види. неразделна) ... Великата съветска енциклопедия

Система - 4.48 система (система): Комбинация от взаимодействащи елементи, подредени за постигане на един или повече цели. Забележка 1 Системата може да се разглеждат като продукт или услугите, които тя предоставя. ЗАБЕЛЕЖКА 2: На практика ... ... речник на термините на нормативната и техническа документация

Ортонормирана система - 1) А.. множество ненулеви вектори на Euclidean вектори (Хилберт) пространство с вътрешен продукт (.), така че в (ортогоналност) и (normalizability). М. I. Voytsehovsky. 2) G. стр. ^ У п към п и пространство и системни функции ... ... енциклопедия по математика

Системни функции Ортогонализирането - за дадена сграда система на функциите с квадратни интегрируеми на [а, Ь] от ортогонални функции на системата чрез прилагане на определена ветното процес ортогонализиране или чрез продължаване Fn (X) функции .От вече ... ... Математически Енциклопедия