Намирането примитивен корени по модул

В този раздел ще разгледаме Броят п. където п = -1 * - каноничен факторизиране в основните фактори.

Нека На (а) = N-1. След това (1) е изпълнено от определението от порядъка на елементи в групата. В допълнение ,. 1 ≤

Да приемем сега, че (1) и (2). Ние показваме, че ON (а) = N-1.

Резултатите от теоремата просто доказа, могат да бъдат използвани за намиране на генератори на Up, които трябва да проверят само до втората точка, като първото за един прост модул се извършва автоматично според теоремата на Ферма. В допълнение, може да се извлече правило. ако a1. a2 не са генераторите на групови Up елементи. A1A2 също не генерира елемент Up. Ето защо ние се заключи, че най-малкият генератора на група Up - председател.

Към елемент генерираща е необходима и достатъчна, за да отговарят на условията: на 01 окт (МО N) на 14 януари (мод н), 35 1 (мод п).

Ние ще преживее редица U71. Вместо а б мод 71, за краткост, ние напиши б.

2: 2 10 = 30, 14 = 2 54 2 35 = 1. 2 не генерира елемент.

3: 3 10 = 48 14 = 3 54, 3 35 = 1. 3 не генерира елемент.

5: 5 10 1 = 5 не генерира елемент.

7: 7 10 = 45 14 = 7 54, 7, 35 = 70. 7 - генериране елемент.

Така че, U71 малката генериране елемент група (или примитивен корен мод 71) е 7.

Съществуването и броя на примитивни корени.

Примитивни корени не съществуват за всеки модул. В действителност, както е показано в Пример 2, съгласно претенция 1, няма примитивни корени модул 8.

Примитивни корени модул m, има m = 2, 4, стр # 945; или 2P # 945;. където р - нечетно число.

Броят на примитивни корени по модул m. ако те съществуват, имат # 966, (# 966 (т)).

Определя се броят на примитивни корени модул 10.

10 = 2 * 5 = 2p. съществуват примитивни корени. Нека да се намери номера.

02 Март = 9, 3 3 = 7 на 3 април = 1. Ф от 10 (3) = 4 = # 966; (10). 3 - примитивен корен.

09 юли А2 = 7 3 = 3 април 7 = 1. Ф от 10 (7) = 4 = # 966; (10). 7 - примитивен корен.

Всъщност, има две примитивни корени модул 10.

Нека с = # 966 (т), Q1. q2. .... Qk - различни председатели делители с. След това г. (G, т) = 1 - примитивен корен мод m не е изпълнено нито едно от сравненията. I = 1,2, ..., к.

Теоремата оказа по предходната алинея е специален случай на тази теорема по прост п.

Ако г - примитивен корен модул m (Um генериране елемент), а след това, ако # 947; минава през цялостна система от остатъци по модул # 966 (т), тогава г # 947; минава през понижено система на остатъци модул m.

За номера на. (А, т) = 1 ще се въведе концепцията на индекса или дискретни логаритъм.

Ако a≡g # 947; (Mod м), # 947; Той нарича индекса. или множество дискретни логаритъм на база грам модул m.

В теорията на числата е използвало думата "индекс" и пишат # 947 = indg а. но комбинацията от "дискретен логаритъм" се използва в криптографията и пишат # 947 = logg а. Що се отнася до тази полза не само отговарят на споменаването на т.нар дискретен логаритъм проблема, ние ще използваме най-новата версия на името, и писането. Особено тъй като дискретни логаритми имат някои свойства на непрекъснати логаритми:

Имот 1: дискретни логаритъм raznoznachen в цялата система на остатъци по модул # 966 (m).

Доказателство за тези имоти не е сложна и е пряко следствие от определенията на дискретен логаритъм и примитивен корен.