монотонни секвенции

1. Определяне последователност п> нарича (без намаляване) последователност увеличаване без ако всеки следващ период от тази последователност е не по-голяма от (не по-малко от) предишния, т.е. ако "пÎN неравенство хп ³ хп 1 (хп £ хп 1). Такива последователности са наречени монотонни последователности.

2. Определяне ако за всички числа п елементи на последователността п> отговарят хп> хп 1 (хп

Забележка. Имайте предвид, че не-намалява и без увеличаване на последователност, ограничена по-горе и по-долу, съответно, първите елементи. Следователно, без намаляване (без увеличаване) последователност ще бъде ограничена от двете страни, ако е ограничена по-горе (по-долу).

Представяме следната нотация:

ù- п> - не-увеличаване последователност на п>

ù¯ п> - не-намаляване последователност на п>

- п> - увеличаване posledovatelnostn>

¯ п> - намаляване последователност на п>.

Пример 1. Последователност = 1,1,2,2. N, N. nondecreasing монотонна. Под него се ограничава само до първия елемент - "1", а на върха не е ограничен.

Пример 2. Последователност половина. Тази последователност е ограничена под първия си елемент. и отгоре. например, неговата predelom- единица, т.е. тази последователност е ограничена.

Сега ние се окаже основната теорема за конвергенция на монотонно последователност.

Теорема. Ако (без увеличаване) последователност намаляване извън е ограничена по-горе (по-долу), след това клони.

Съгласно наблюденията, направени по-горе, без намаляване (без увеличаване) и ограничена по-горе (по-долу) последователността е ограничен от двете страни. Следователно, последната теорема може да се твърди, както следва:

Забележка 1. състоянието ограничена монотонно последователност е необходимо и достатъчно условие за конвергенция.

В действителност, ако последователността е ограничена монотонно, тя се доближава в сила на горната теорема.

Ако секвенцията е монотонна (и, най-общо, всяка последователност) клони, е ограничен (вж. Теорема 2).

Бележка 2. Ако последователността клони, а след това може да не е еднообразен. Така, последователността, клони и има лимит на "0". Въпреки това, тази последователност не е монотонна, защото признаци на елементите на тази последователност заместници.

Да разгледаме пример за последователност на констатацията, че се използва горната граница теорема (Sec. 2.7.) От монотонна последователност граница.

Нека последователност. т.е. всеки елемент от тази последователност. Ще покажем, че тази последователност се увеличава и граничи по-горе.

Използването на биномно формула на Нютон