Методът за интегриране по части

Литература: Събиране на проблеми в областта на математиката. Част 1. Редактирано от A. V. Ефтимова, BP Demidovich.

Ако $ ф (х) $ и $ о (х) - $ диференцируеми функции, а след това по формулата на интегриране по части. $$ \ Int ф (х) V "(х)", DX = ф (х) о (х) - \ Int о (х) ф "(х) DX, $$

Или в стенограмите $$ \ вътр ф \, DV = UV- \ вътр о \, дю. $$

Тази формула се използва в случаите, когато подинтегрален $ е (х) DX $ може да бъде добре представени под формата $ ф \, DV $, за да може да се намери $ о = \ Int \, $ DV и получава право на интегралната $ \ INT о \, дю $ е по-просто от оригиналния $ \ INT U \, DV. $

$$ \ Int P_n (х) \ защото х \, DX; $$

$$ \ Int P_n (х) \ грях пх \, DX; $$

където $ P_n (х) - $ полином от степен $ п $ от $ х: $ $ ф = P_n (х), $ и $ DV - $ е всичко, което остава.

$$ \ Int P_n (х) \ LN ^ х \, DX; $$

$$ \ Int P_n (х) \ ARccOS х \, DX; $$

$$ \ Int P_n (х) \ arcsin х \, DX; $$

$$ \ Int P_n (х) arctg х \, DX; $$

$$ \ Int P_n (х) arcctg х \, DX, $$

където $ P_n (х) - $ полином от степен $ п $ от $ х: $ $ DV = P_n (х) DX, $ и $ ф - $ е всичко, което остава.

Имайте предвид, че за изчисляване на интеграл, от части неразделна формула може да се прилага многократно.

$$ \ Int \ ARccOS х \, DX = \ наляво [\ beginu = \ ARccOS х \ стрелкаНадясно Du = - \ Frac> \, DX \\ DV = DX \ стрелкаНадясно V = х \ край \ полето] = $$ $ $ = \ ARccOS х \ cdot Х- \ Int х \ оставя (- \ Frac> \ дясно) \, DX = х \ ARccOS х + \ Int \ Frac> $$.

Ние изчисляваме интеграла получена от дясната страна:

$$ \ Int \ ARccOS х \, DX = х \ ARccOS х + \ SQRT + С $$

$$ \ Int х ^ 2 \ грях х \, DX = \ наляво [\ beginu = х ^ 2 \ стрелкаНадясно Du = 2 х \, DX \\ DV = \ грях xdx \ стрелкаНадясно V = - \ COS х \ край \ полето ] = $$ $$ = - х ^ 2 \ защото х + 2 \ Int \ защото х \ cdot х \, DX \, DX = \ наляво [\ beginu = х \ стрелкаНадясно Du = DX \\ DV = \ защото х \, DX \ стрелкаНадясно V = \ грях х \ край \ полето] = $$ $$ = - х ^ 2 \ защото х + 2 (х \ грях Х- \ Int \ грях х \, DX) = - х ^ 2 \ COS х + 2х \ грях х + 2 \ защото х + С $$

$$ \ Int х ^ 3 д ^ \, DX = \ наляво [\ beginu = х ^ 2 \ стрелкаНадясно Du = 2 х \, DX \\ DV = XE ^ DX \ стрелкаНадясно V = \ Int XE ^ \, DX \ край \ прав]. $$

Нека $ \ вътр д ^ \ защото BX \, DX = I. $ Тогава пренапише равенството получава, както следва:

$$ \ Int \ COS (\ LN х) \, DX = \ наляво [\ beginu = \ COS (\ LN х) \ стрелкаНадясно Du = - \ Frac \ грях (\ LN х) \, DX \\ DV = DX \ стрелкаНадясно V = х \ край \ полето] = $$ $$ = \ COS (\ LN х) Х- \ Int х \ cdot \ оставя (- \ Frac \ грях (\ LN х) \ дясно) \, DX = х \ COS (\ LN х) + \ Int \ грях (\ LN х) \, DX. $$

$$ \ Int \ грях (\ LN х) \, DX = \ наляво [\ beginu = \ грях (\ LN х) \ стрелкаНадясно Du = \ Frac \ COS (\ LN х) \, DX \\ DV = DX \ стрелкаНадясно V = х \ край \ полето] = $$ $$ = \ грях (\ LN х) Х- \ Int х \ cdot \ наляво (\ Frac \ COS (\ LN х) \ дясно) \, DX = х \ грях (\ LN х) - \ вътр \ защото (\ LN х) \, DX $$.

Така $$ \ Int \ COS (\ LN х) \, DX = х \ COS (\ LN х) + х \ грях (\ LN х) -. \ Int \ COS (\ LN х) \, DX $ $

Нека $ \ вътр \ защото (\ LN х) \, DX = I. $ Тогава запишете и да се реши уравнението

$$ I = х \ COS (\ LN х) + х \ грях (\ LN х) -I \ стрелкаНадясно $$ $$ \ стрелкаНадясно 2I = х \ COS (\ LN х) + х \ грях (\ LN х) \ стрелкаНадясно $$ $$ \ стрелкаНадясно I = \ Frac (х \ COS (\ LN х) + х \ грях (\ LN х). $$