Методът на фаза равнина

Да предположим, че движението на нелинейна система, описана от нелинейни диференциални уравнения от втори ред

където времето не е включена изрично. Точка на самолета. където дясната страна на уравнение (1.1) стават нула, т.е. , , Те призоваха единични точки. Координати и наречени координати фаза. всеки момент отговаря на стойност координира. , изобразен на точка фаза равнина (представителна точка). Движение на представителния точка в равнината фаза тегли чертата, наречена траекторията фаза. Най-често срещаният метод за сканиране на изображението, при която се използват двете фазови променливи:

koordinata и неговата скорост на промяна.

Уравнения (1.1) е под формата

Разделяне второто уравнение от първото получаване на диференциално уравнение на интегралната кривата на фаза равнина

Решение на това уравнение дава уравнението криви съвпадат с траекториите на фаза (фаза портрет).

траекториите на фазата за система (1.2) има следните характеристики:

1 °. Ако функцията се определя и непрекъснато, има непрекъснати производни по отношение на техните аргументи, след това през всяка точка на фаза равнина, с изключение на равновесие (единични точки), в която. , преминава само неразделна крива, т.е. фаза траектории пресичат в не-единични точки

2 °. В горната половина точкови изображение се движи по траектория фаза от ляво на дясно, като координатите може само да се увеличи. Ако вотът е от дясно на ляво (фиг. 1.10).

3 °. В точки. фазови траектории се пресичат абсцисната ос под прав ъгъл, тъй като от допирателната към траекторията на фазата на тези точки.

Метод фаза равнина обобщени в учебника [10], което показва класификацията на единичните точки линейна (линеаризиран) системи.

1.3. шев метод.

Метод "шиене" (или "кръстосано свързване") на граничните условия е подробен метод на конструиране портрети фаза в по части линейни системи. равнина фаза е разделена на региони, всеки от които уравнение (1.2) стават линейна. Във всяка една от избраните области на съответните уравнения са интегрирани, са написани решения са изградени фазови траектории във всеки регион, които са "с телбод" по линиите, които разделят тези области ( "линии измести"), така че крайните стойности на променливите в предходното поле са първоначалните стойности на тези променливи в следващ област.

Пример 1.1. Използва се методът за шиене за построяване на фаза портрета на нелинейни самоходни оръдия от типа, показан на фиг. 1.11, където линейната част на линеаризиран модел на постояннотоков двигател с отделни възбуждане и нелинейни елемент симулира реле усилвател.

Съответните диференциални уравнения затворени ACS може да се запише, както следва

равнина фаза е разделена на две области:

ОБЛАСТ аз .. ; Диференциални уравнения:

Регион II. , ; Диференциални уравнения:

Извършва строителство на фаза траектории в областта I:

Интегриране на това уравнение с началните условия

Ние правим промяната. , чрез което

И накрая, ние получаваме уравнението

което съответства на семейството на фаза траектории (фиг. 1.12), където в. Когато тази част е по-голяма величина част. което следва от уравнението (1.7). В действителност, когато. , , Ние имаме.

и следната семейството на фаза траектории показано на фиг. 1.13.

Съчетаването на траекториите фаза на превключване линия. Взимаме фаза портрета (ris.1.14). Фиг. 1.14

Ние решаваме по-нататък същия проблем за случая на нелинейност като "реле с мъртва зона". Имайки предвид, че. получаваме:

Във фазата самолет подчертая три области:

ACS затворен уравнение в региони, I и II съвпада с уравненията на предишния случай ( "идеален ключ").

В района III, ние получаваме уравнението

което съответства на траекториите фаза под формата на прави линии.

Съчетаването на траекториите фаза за превключване линии. , изграждане фаза портрет нелинейни SAU (ris.1.15).

След контакт с представител точка на интервала почивка. ACS това спира движението.

По същия начин, може да се изгради фаза портрети с други видове нелинейности показани на Фиг. 1,1-1,8.

. Виж литература: [2 s.9-19; 3, s.481-489; 4, s.13-38; 5, s.414-420; 10, s.48-53].

Проверете знанията си

1. Каква е фаза самолета?

2. Какви променливи са полезни за изграждане на фазови траектории?

3. Както фаза равнина е разделена на региони в прилагането на метода на шев?

4. Как да изберем първоначалните условия в изолирани райони, при прилагане на метода на шиене?

1.4. Метод на хармонична линеаризация

Това приблизително метод за изследване на периодични движения (осцилации) в нелинеен SAU, състоящи се от нелинейни елемент и линейна част (фиг. 1.16).

Нелинейните елемент, описан от уравнението и може да бъде типичен нелинейност показано на фиг. 1.2-1.8.

Линейната част на предавателната функция се описва с ACS

В такъв NUAU, може да настъпи по време на стабилни периодични движения (осцилации) на изхода на линейните участъци, които са близо до синусоидална, т.е. , където - амплитудата - честота на трептенията (самостоятелно трептене параметри). Такава динамичен процес, поради факта, че линейната част има свойство на нискочестотен филтър, който предава без смекчаващи първия (основен) хармонична и значително смекчаване на по-високи хармонични компоненти.

"Хипотезата за филтър" и с оглед на NUAU, е в основата на метода на хармоничната линеаризация. Състояние на нискочестотен филтър може да се запише във формата на неравенството

за ценности. което съответства на значително отслабване на хармоници.

Нека входния сигнал към NUAU линия, т.е. , Входният сигнал влиза нелинейни елемент. Сигналът на изхода на нелинеен елемент, който е периодична функция, ние разшири в серия Фурие

За симетрични самостоятелно трептения на DC компонент отсъства, т.е. , която се проявява при симетрични нелинейни характеристики, преминаващи през произход (например на фиг. 1.1-1.3, 1.5, 1.6).

Като се има предвид по-нататък само симетрични самостоятелно трептения и пренебрегване на (1.13), по-високи хармоници, които получаваме приблизително израз

Ако нелинейност описва недвусмислени странни функции, един от двамата.

накрая се получи от (1.15)

къде. - коефициенти на хармонична линеаризация.