Матрици и техните свойства
Глава 6 Матрици и техните свойства.
Определение 1: матрица се нарича правоъгълен тип таблица:
брой редове - т и броя на колоните - N, наречени размера на матрицата.
Определяне 2: Сумата на матрици А и В е матрица на същата величина С на същата величина, така че
Определяне 3: Продуктът от броя на матрицата е матрица, чиито елементи са Aij за всички I и к.
Дефиниция 4: Нека матрицата имат размер, и матрица B има измерение. Продуктът от матрица А и Б матрица е матрица С = AB на величина, така че
Определение 5: квадратна матрица се нарича, ако броят на нейните редици, равен на броя на колоните.
Определяне 6: квадратна форма матрица:
Това се нарича идентичност матрица Е.
Свойствата на операцията умножение матрица.
1. (BC) = (А-В) C - асоциативност.
2. (В + С) = AB + AC - Distributivity.
3. (А + В) C + BC = AC - Distributivity.
4. - когато - номер.
5. Ако единица матрица Е = АЕ и ЕВ А = Б.
Трябва да се отбележи, че операцията умножение на матрици не е комутативен.
6. Всяка матрица с размер на АТ може да асоциира матрица (матрица транспортира до А) в размер. AT редовете - колони от А се поддържат реда им. Освен това, действието на матрица умножение има следния собственост.
Ако матрицата е квадратна, че е възможно да се изчисли детерминантата на матрица. И с детерминантата на матрицата е тясно свързана с концепцията за не-единствено число матрица.
Определяне 7: квадратна матрица А е неособена матрица, ако неговото детерминанта е нула.
Ние даваме още един много важен собственост на матрицата. Това се отнася до обратни матрици.
Определяне 8: В квадратна матрица измерение нарича обратна ако AB = BA = E. където Е - матрица идентичност. Представено с обратен матрица А -1 т.е. B = A -1. На следващата теорема ви позволява да настроите един от начините за намиране на обратни матрици.
За всеки не-дегенеративен квадратна матрица А има обратен матрица освен това се изчислява по следното правило.
където - детерминантата на n- та за квадратен матрицата на измерение.
Aij - детерминанта освен това да се отбележи, кофактори до елементи, които кофактори на елементите изчислени определящи линии подредени в инверсната матрица в съответната колона.
Има и друг алгоритъм за изчисляване на обратната матрица, ние представяме тук:
1. Задаване на полето матрицата на матрицата на идентичност на подходящи размери.
2. елементарен ред трансформации матрица трансформиране на формата.
3. Получени през първата половина на матрицата B ще бъде обратна на матрица, която е В = А -1.
По-долу ще разгледаме пример за прилагане на този алгоритъм.
Да разгледаме примери за решаване на проблеми на глава 6.
Намери матрица С е сумата на две матрици А и Б.
Намери продукт на броя на А, ако:
Някои фирми, ангажирани с продажбата на стоки в трите области. Данните за нивото на продажбите по региони на стоките формират матрица А от измерение, редовете, съответстващи на региона, както и колоните - видове стоки. Цените на търгуваните стоки формират измерение C колона на матрицата.
Намерете най-матрица Р характеризира общите продажби по региони, ако:
Обемът на продажбите са дадени в хил. броя. Цените в рубли / хиляда парчета.
За R. за матрица с размер матрица трябва да бъде умножена по матрица С на размер. Проверка кореспонденция множимо матрици с размери, на броя на колоните на матрицата А е равен на броя на редовете на матрицата. Тези матрици могат да бъдат умножени. Размерът на получената матрица Р навън.
Така желания матрица Р характеризиращи общите продажби в области има формата:
Като се има предвид две матрици А и В измерение величини. Намери продукт на матрици А, Б и В. и ако:
Ние считаме, продукт на матрици AV проверка на съответствието на размерите на матрицата и матрица B ние се подчертае, че умножение на матрици е възможно, и в резултат на това получаваме от големината на матрицата, т.е. матрица, съдържаща само един елемент.
Сега ние намерите матрица продукт VA продукт на тези матрици също е възможно, тъй като измерение на матрицата и матрицата и получената матрица има измерение
Намерете обратната матрица за дадена матрица C, ако:
Преди да намери C -1 определи дали матрица C не е единствено число. За тази цел се намери детерминантата на матрицата С.
Следователно неособена матрица матрица е обратна матрица C -1.
За да използвате теоремата за намиране на обратната матрица на кофактори ще намерите всички елементи на детерминантата.
Познаването на кофактори на детерминантата на матрицата и запис на обратен матрица С-1.
Точността на изчисленията може лесно да се провери, ако намерите даден продукт на матрици трябва да получи матрицата идентичност Е.
така, че изчисленията се извършват правилно.
Ние намираме обратната матрица с помощта на алгоритъм за намиране на обратната матрица.
Матрицата С се определя
зададете правилния размер на матрицата Е идентичност получаваме:
Ние извършват основните трансформация линии за превръщане на матрицата за формата
D е получената матрица обратна на матрица С, което е:
Процесът на преобразуване след елементарни матрични превръщания се извършват:
1. От третия ред и на втория ред изважда резултата се записва на мястото на третия ред.
2. а) Първият ред, умножена по (-2) и предвидена във втория ред, резултатът се записва на мястото на втория ред.
б) на първия ред, умножена по (1) и поставен върху третия ред, резултатът се записва на мястото на третия ред.
3. а) трета линия, посочена от втора линия, резултатът записва на мястото на втория ред.
б), умножено по трета линия (3) и, предвидена с първа линия, резултатът се записва на мястото на първия ред.
4. разменени първи и втори колони.
Задачи за независим решение
1. Виж продукта матрици AB и BA ако дадена матрица А и Б.
2. Намерете сумата на матриците А и В, ако:
3. Произвежда три вида продукти Р1, Р2, Р3, използвайки два вида суровина S1. S2. суровини, нивата на консумация материал на дадена матрица А от размера. Когато колоните характеризират видовете продукти и суровини линия. Пътна карта на продукта дадена колона на матрицата с размер. Цената на всяка от стоките, изчислени за единица суровина даден ред на размера на матрица Р. Намери изпълнението на плана, ако:
4. За да се изчисли матрицата на матрица А = А2. А; А 3 = А 2; В = E A + 2А-2, където Е е матрицата на идентичност.
5. Във всички отношения между к параметри и л е равенството AB = BA, ако: