Математически алгебрични уравнения и неравенства

Алгебрични уравнения и неравенства

Следващите въпроси подходящи за разпределяне на част от този раздел.

Решението на рационални уравнения.

Решението на рационални неравенства.

Рационални уравнения и неравенства с модули.

Решението на рационални неравенства.

Ирационални уравнения и неравенства.

Решението на рационални уравнения

Част от трудността с решението на рационални уравнения дължи на кандидатите в това решение, както се казва "глава", в съответствие с алгоритъм на метода на факторинг:

където А (х), В (х) - произволни рационални изрази;

Р (х), Q (х) - полиноми

Това води до тромаво "рутинни" трансформации или необходимостта от намиране на корените на полиноми на степен по-голямо от второто. И това не е съвсем проблем "училище". В този случай, дори и в най-очевидните случаи, кандидатите не прилагат метода на въвеждане на нова променлива. Но това, въвеждането на нова променлива, можете бързо да се опрости решава уравнения. Това е мощна техника, трябва да се разбира и прилага.

Въвеждане на нова променлива се извършва, когато решава уравнение може да бъде представена в F на форма (г (х)) = 0 Ако приемем, че г (х) = трет. стигаме до решение на системата:

Ако уравнението F (т) = 0, г (х) = t1. г (х) = t2, ..., г (х) = Тенеси. където t1. t2, ..., TN - корените на F в уравнение (т) = 0 е по-лесно първоначалното уравнение, методът, както е посочено натоварване.

Разглеждане на различни рационални уравнения, за които много полезен метод за въвеждане на нова променлива, но не са очевидни, когато оригиналната уравнението директно с F на форма (г (х)) = 0. Търсене успешното заместване г (х) = т и специално работата да доведе оригиналното уравнение в указаната стойност, е основният съществената част от уравнението за решение. Разтворът на F в уравнение (т) = 0 и набор от уравнения г (х) = TI - сравнително прост, техническата част на разтвори на процеса на уравнението.

Решението на рационални уравнения често се свеждат до решаване на обикновени квадратно уравнение, но при спазване на ограниченията за допустимите стойности на неизвестното. По-специално, те се изключват от стойностите TCC на х. в която поне един от знаменател в уравнението, е равно на 0.

Етапи на рационални решения на уравнението.

Определя TCC (никой знаменател не може да бъде нула).

Намерете най-малкия общ знаменател на всички фракции.

Умножете уравнението от знаменател и решаване на получената неразделна уравнението.

Включване в отговор само корените, които са включени в ДХС.

Решението на рационални неравенства

За решаване на рационални неравенства се използват така наречените интервали метод. Практиката на приемни изпити по математика показва, че жалбоподателите не са винаги правилно да използват този метод, за да се разбере същността си и специфичност. Това до голяма степен се дължи на факта, че в научната литература съществуват различни подходи към начина на представяне интервал не винаги успешни. Налице е объркване с термини "странен синтез" на няколко подхода. Но алгоритъма на интервал изисква точност и яснота.

Имаме предвид интервал метод, като метод се използва за решаване на рационални неравенства строго определени тип:

Ако това неравенство не съвпада с ума си, тя трябва да доведе до този вид тези или други равнопотенциални трансформации, и едва след това се прилага метода на интервали от време. Ние наричаме определените любезни неравенство стандартни решения за интервалите на метода.

Представяме още два мандата. Да - фактор за неравенството, стандартният метод за решаване на интервали от време. Ако експонентата # 945; и - нечетно число, тогава точката х = XI ще се нарича просто. Ако експонентата # 945; и - четен брой, тогава точката х = XI ще се нарича двойна.

Сега посочи интервали алгоритъм метод.

Да бъде дадена неравенство, стандартният метод за решаване на интервали от време. За решението си:

1), обърнете внимание на редица линии точки съответните x1 номера. x2. x3, ..., хп. като по този начин се измъкна от цялата реална линия на интервали (интервал); където, ако стриктно знак неравенство, точките, отбелязани прободен ако небрежното знак неравенство, точките, отбелязани с твърда;

2) на всеки от периодите на експресия, получен ще запази постоянен марка; възлага марки, използвайки правилото за редуване на знаците:

а) в най-дясната интервала винаги "плюс" знак;

б) в точката на преход чрез прости промени знак, обратното;

в) в точката на преход чрез двойна знак се запазва;

3) след героите на всички пропуски, определени с получената форма се чете на неравенството на решения; отговор се записва като комбинация от интервали.

интервал метод може да се прилага за решаване на дробни рационални неравенства, ако използваме еквивалент:

Основният метод на рационални решения (и много други) неравенства - интервал метод. За да го използвате, трябва да конвертирате неравенството, така че дясната част беше 0, а в ляво е продукт на няколко фактора, или за част, в числителя и в знаменателя на което е отразено. След това корените на всеки фактор (т.е., от решаването на неравенството да преминете към решаването на уравнения), и сред тях са тези, в които нито един от наличните фактори не се променя знак или знак за промяна дори редица фактори. В бъдеще такива корени, ако те съществуват, ще бъдат призовани повече от една (макар че това не е съвсем точен). За окончателното решение остава причина за неравенството намерени в корените на недвижими линия, да намерите на знака в лявата част само от едната интервал ограничена от точки от данни, както и място знаци на други интервали, да ги промените, когато преминават през един прост корен и не се променя, когато преминават през стадото.

Рационални уравнения и неравенства с модули

Рационални уравнения и неравенства в работата на ЕГЕ често "сложни модули". Уравнения и неравенства, съдържащи променлива под знака на модул не е изрично включени в учебната програма по математика, често предлагани от учителите като висока сложност работни места. В резултат на това, което води до страх и трепет кандидати, много кандидати за работа са просто пропуснати, въпреки че те могат лесно да се направи. За да направите това, не толкова:

1) ясно знаете определението на модула;

2) решения получаващата се разбират уравнения и неравенства, на базата на разкритието на всички модули едновременно (и, доста специфичните примери тук);

3) да се помни, начина на въвеждане на нова променлива.

Решаването на уравнения и неравенства, съдържащи променлива под знака на модул, въз основа на определението на модула:

Модулите, включени в уравнението или неравенството е разкрити за идентификация и допълнително се решават уравнения и неравенства, несъдържащи модул. Имайте предвид, че кандидатите често вместо половете, по-горе, се прилагат между половете:

Разбираемо е, че това е валидно само в случай на е (х) = х. В общи линии, това равенство не е вярно. Трябва да се помни това и да се избегне това често срещана грешка сред учениците.

Основната техника на модулни разтвори на уравнения и неравенства - разкриването на модула използвайки определение (| а | = а ако ≥ 0 и | а | = -а на <0). Для этого обычно рассматривают отдельно два случая: случай, когда подмодульное выражение неотрицательно и когда оно отрицательно.

Решението на рационални неравенства

Просто искам да ви предупредя срещу най-честите грешки: умножаване на двете страни под общ знаменател. Ако различни стойности на х, знаменателят да промените знак, а след това не можете да се отървете от него. Защо? Защото, когато се умножи двете страни на неравенството с положително число не променя знака на неравенството, и отрицателен - с обратен знак. Ето защо, решаване на това неравенство, трябва да имате предвид не само знака на числителя, но знаменател. Етапи на разтвори на рационални неравенства могат да бъдат описани както следва:

1) се движи всички условия на лявата ръка;

2), за да донесе в лявата част на най-малкия общ знаменател;

3) Виж корените на числителя и знаменателя на фракция, получена; се провери дали някои от тях се делят;

4) реши неравенството от интервали на базата на множество корени.

Ирационални уравнения и неравенства

Ако квадратура все още трябва да, трябва да гледате внимателно, така че да не се включват външни корени в отговор. По-специално, ако уравнението е това условие трябва да бъде изпълнено (в този случай, както и състоянието не се изисква да се сложи отделно) за корените. Друг начин за откриване на чужди корени - да сканира всички заместването намерени в корените на оригиналното уравнение.

Премахване на скобите в знаменателя, получаваме уравнението:

Ако приемем, че х 2 + 3 + 2 = т ние получаваме системата от уравнения:

Решаването на първото уравнение, ние получаваме корени t1 = 2, t2 = 18. Освен това, второто уравнение, ние получаваме корените на първоначалното уравнение.

Добавяне на числителя на втората фракция експресията х 2 - 2 х. по същия начин, равна на нула:

Ако приемем, че ние получаваме системата от уравнения:

Решаването на първото уравнение, ние получаваме корените: t1 = -1, t2 = 2. От второто уравнение, ние получаваме корените на първоначалното уравнение:

Ако приемем, че стигаме до системата от уравнения:

Нека да решим първото уравнение, като се използва формулата:

Определяне получава биквадрат уравнение, ние получаваме t1 корени, 2 = ± 1, съответно: Х1 = -5, Х2 = -3.

Като се има предвид идентичността, можем да пренапишем това уравнение в следния вид:

Ако приемем, че имаме система от уравнения:

4т 2 + дванайсеттона - 55 = 0,

След като решила първата уравнението, получаваме корените :.

От второто уравнение получаваме корените на оригиналното уравнение.

Лявата страна на уравнение представлява сумата от квадратите. За решаване на уравнения, че е подходящо да го превърне в идеален квадрат, като към двете страни на съответната два пъти на продукта:

Ако приемем, че имаме система от уравнения:

Решаването на първото уравнение, ние получаваме t1 корените = -9, t2 = 3. Освен това, второто уравнение, ние получаваме корените на първоначалното уравнение:

Да приемем, че х + 2 х 4 + = трет. Тогава даденото уравнение става:

т 2 + 8xt + 15 х 2 = 0.

Решаването на това уравнение като квадратичен отношение на тон. получаваме:

Тя дава корените на оригиналното уравнение:

Нека x0 - коренът на уравнението. Въвеждане на нови променливи U = 2 - x0 и х = x0 - 3. Приема се, че терминът "нов променливата" в този случай ще са приложени правилно. U и V - макар и непознат, но постоянни стойности за x0 - постоянна, а не променлива.

Имаме система от уравнения:

Като се има предвид, че и + V = -1, от второто уравнение получаваме:

По този начин, или UV = 1, UV = 0, или за намиране на U и V има две системи от уравнения (набор от системи):

Първата система все още няма решения.

По този начин, корените на първоначалното уравнение: Х1 = 2, Х2 = 3.

Ето това неравенство на формата на стандартен метод за решаване на интервали:

Построява се дял на недвижими линия в интервали:

Имайте предвид, че скалата в този случай не е необходимо да се съобразят с, но някои основни детайли, свързани с нивото на общата култура на графиките, разбира се трябва да се спазват. По този начин, точка -3 да бъде показано по-далеч от нула от точката, и разстоянието между точките и -3 трябва да бъде значително по-малко от разстоянието между точките и 6, и т.н.) раздяла марки между, като се използва принципа на редуване:

Фигурата показва неравенство решение:

Премахваме скобите; имаме:

Тъй х 2 + х + 1> 0 за всички х и х 2 + 1> 0 за всички х. ние получаваме неравенството на формата, стандартният метод за решаване на интервал и е еквивалентен на оригиналния неравенството:

Построява се дял на недвижими линия в интервали и място знаци върху върховенството на редуване:

Така, разтворът на неравенството:

Това неравенство е еквивалентно на системата:

Тук е първата система на неравенство на формата, стандартният метод за решаване на интервали:

Построява се дял на недвижими линия в интервали от време, като се има предвид второто неравенство, което означава, че х ≠ 3 х ≠ 7 х ≠ ± 4, и място знаци върху върховенството на редуване:

Показателно е да допринесе за разбирането на същността на метода на интервали, а оттам и по-добро използване на упражнения си на изграждането на неравенството чрез определени интервали асоциации - техните решения. Помислете за пример.

Форма неравенството чиито разтвор (-∞, -10) U [-7, -4] U (-4, 2) U U [11 + ∞].

На първо място, ние се отбележи, всички точки от броя ред:

Сега избира произволно плочите са неравенство (ясно е, че марката не е строго неравенство, тъй като в нашата фигура има солидни точки) и в съответствие с решението на неравенството признаци осеяли. Така че, нека знака на нашия неравенство ≥, тогава имаме:

Фигурата показва, че точка х = -10, -7 = х, х = 2 и X = 11 - обща точка и точката х = -4, X = 6 - двойни точки. В допълнение, тъй като цифрата е и извадени и твърда точка, е в размер на неравенството - рационално дроб. Предвид тези констатации, ние откриваме, например:

или, ако умножите скобите:

Ние решаваме системата на неравенството:

Ние решаваме всяка система на неравенство.

Решението на първото неравенство:

Разтворът на втория неравенството:

Сега ние откриваме, на кръстовището на неравенствата решения. За да направите това по един номер на ред изобразяват двете решения, отбелязвайки излюпването им с различни писти. Желаният пресичане вземане ясни интервали ще бъде двойно-люпене:

Системата за решение на неравенството:

Ние решаваме двойно неравенство.

Ясно е, че става дума за решението на системата на неравенството:

Ние решаваме всяка система на неравенство.

Решението на първото неравенство:

Разтворът на втория неравенството:

TCC е дадено от състоянието. Пишем уравнението във формата:

(Root на първото уравнение на х = 0 не отговаря на второто условие). Така че, само в основата на оригиналния уравнението - х = 11.

Припомнете си свойствата на неравенството: ако двете страни на неравенство са отрицателно число, то квадратура знака неравенство не се променя; Ако са отрицателни, знакът е обърнат; ако лявата и дясната страна са с различни знаци, операцията по квадратиране е неправилно.

Това неравенство радикал експресия, разбира се, трябва да бъде не-отрицателни. Освен това, стойностите на дясната страна на най-малко квадратен корен, който е за получаване на дясната страна на неравенство могат да бъдат положителни или нула само. При тези условия, ние имаме право да се повиши от двете страни на квадрат плоча с опазване на неравенството:

вземане на пресечната точка може да се запише като: х ≥ 22.

В това неравенство, за разлика от предишния, от дясната страна може да бъде настроен да имат различни знаци. Помислете за тези случаи поотделно.

Случай 1. Ако условията на неравенството е вярно: наистина, неотрицателно цяло число по-голямо от който и да е отрицателно число. Следователно, всички решения на тази система, ще бъдат включени в отговора. Ние решаваме получената система на неравенството:

Случай 2. Вторият вариант - на условията:

Да предположим, след това стойностите на т определя от системата на неравенството:

След смяна на обратната връзка, която получаваме: Тъй като лявата и дясната страна на тази двойна неравенство са неотрицателни, ние можем да изградим и трите части на площада:

Отговор: (0; 1] U [16; 17).

На второ място ,. Тъй като числителят за всички допустими стойности на х е неотрицателно, знаменателя трябва да бъде отрицателен, и неравенството намалява до системата:

Комбиниране на резултатите решения, ние се получи окончателен отговор: 1 ≤ х <4, x = 8.

Още веднъж, имайте предвид, че ако ние не счита случая за равенство отделно и решаване на система от неравенства, които ще загубят решение х = 8.