Линейни диференциални уравнения

§ 9. Линеен Диференциални уравнения

с постоянни коефициенти

(9.1) и се нарича линеен диференциално уравнение на п - ти ред с постоянни коефициенти; - постоянни реални числа. Ако функцията) не идентично нула е, тогава той понякога се казва, че уравнението с дясната страна.

(9.2) е хомогенна линейна диференциално уравнение на п - ти ред с постоянни коефициенти; - постоянни реални числа. Тъй като. Функция) е идентично равен на нула, то понякога се казва, че без дясната част на уравнението.

Това се нарича характеристика уравнение. и неговите корени - характерни стойности на уравнението (9.2).

Системата от функции се нарича линейно независими в диапазона. ако идентичността (- константи)

може да се извършва само тогава, когато всички. Ако освен това, всяка от функциите е специално разтвор на хомогенна уравнение (9.2), разтворите система на хомогенна уравнение се нарича основната система на решения.

Ако се установи, основното система на разтвори, след това функцията

Това дава общ разтвор на хомогенна уравнение (9.2), (всички - константа).

1 ° .Odnorodnoe уравнение. Ние считаме, че три случая.

(♠) Всички корените на характеристика уравнение са реални и различни.

Основната система на решения има формата.

Функцията осигурява общ разтвор на една хомогенна уравнение (9.2) (всички - константа).

Пишем характерната уравнението. Неговите корени.

Корените на характеристика уравнение. Общо повторно shenie. Тъй като .. за да се определи Kostant

имаме две уравнения. Това означава - конкретно решение, което отговаря на дадени първоначални данни.

(♠♠) Всички корените на характеристика уравнение са различни, но някои от тях са

Всеки реален корен е все още са подходящи частни решения. и всяка двойка сложни конюгат корени съответства две линейно независими специфични решения.

по този начин като основна система в този случай, добавя снимка-линейно независими специфични решения, които съответстват ве nificant корени и линейно независими специфични решения, които отговарят на всяка двойка сложни конюгат корени.

Общият разтвор осигурява линейна комбинация на основната система на разтвори с произволни постоянни коефициенти.

Намираме корените на характеристика или уравнението

. Един корен материал и чифт сложни конюгат корени (а = 0, Ь = 3, т. Е. корени чисто въображаема). Най основен система на решения. , Напишете общото решение

Фундаментална система от решения. ,

Общият разтвор. За определяне на константите намерят.

Когато. по този начин специално разтвор Задоволителни отговаря на дадени първоначалните условия, има следната форма:

(♠♠♠) има множество корени на характерните корените на уравнението.

В този случай, всеки корен на множество к съответства к линейно независими специално разтвори на формата

където в общата формула е насочена решения допринасят за линейна комбинация

и всяка двойка сложни конюгат корени на множество к к 2 съответства линейно независими специално разтвори на формата

В обща формула разтвори ще бъдат въведени принос като линейна комбинация

по този начин основен система на разтвори в този случай, изображението, са линейно независими специфични решения, които отговарят реално прост и множество корени, и линейно независими специфични решения, които съответстват на всяка двойка прости и много сложни конюгат корени.

Корените на характеристика уравнение са кратни. Многообразието недвижими корен. Основната система

Корените на характеристика уравнение са сложни и множество ,. Множеството двойки комплекс-конюгат-конюгиран корени. (А = 0, Ь = 2, т. Е. корени чисто въображаеми). Фундаментална система-ма решения. ,

Характерните уравнението има двойна корен и чифт сложни конюгат корени. , Фундаментална система от решения. ,

Характерните уравнението има прост корен и двойно двойка комплекс конюгат корени-ТА. корени са чисто въображаеми).

Фундаментална система от решения. ,

2 ° .Neodnorodnoe уравнение. Общият разтвор на нехомогенни диференциално уравнение с постоянни коефициенти

могат да бъдат намерени съгласно формула (формула е също така, в случая, където коефициентите-cients не са постоянни). където - конкретен разтвор на нехомогенни уравнението, и

- общото решение на хомогенна уравнение.

по този начин да се намери общо решение на нехомогенни уравнението. трябва

да се намери общ разтвор на хомогенна уравнение и конкретно решение

Вследствие на това възниква проблемът за намиране на конкретен разтвор на нехомогенни уравнение. Помислете четири случаи на решаване на проблема по метода на неопределени коефициенти. когато от дясната страна има специална (стандартно) тип.

Методът се състои в това, че конкретно решение търси предварително известна форма с неопределен коефициенти, конкретни стойности на които са podstanovkoyv оригинален уравнение и знак на равенство между коефициентите на същите функции на лявата и дясната страна.

(♠). където - степента на полинома (което е, по-специално, може да бъде константа не е равна на нула).

Ако числото 0 не е да се търси корена на уравнението характеристика под формата

където - полином от същата степен с неопределен коефициенти.

Ако числото 0 е корен на характеристика уравнението на множество. Трябва да се търси във формата

Корените на характеристика уравнение. Общият разтвор на хомогенна уравнение. Броят 0 не е корен на характеристика уравнение-агенция търси специално решение под формата. Сега към главината да е закрепен предписание трябва да бъде заместен в оригиналния уравнението, но обикновено по-Херед следната схема.

(♠♠). където - степента на полинома (което е, по-специално, може да бъде константа не е равна на нула); - реално число.

Ако номерът не е кратно корен, трябва да потърсите

където - полином от същата степен с неопределен коефициенти.

Ако броят е корен на характеристика уравнението на множество. Трябва да се търси във формата

В Броят не е корен на уравнението характеристика,

. Общият разтвор на хомогенна уравнение. В ACTH ние се търси решение във формата.

(♠♠♠). при което - полиноми (които по-специално могат да бъдат константи, и един от тях може да е нула); - реални числа.

Да - максимална степен на полиномите.

Ако номерът не е да се търси корена на уравнението характеристика под формата

където - градусови полиноми с неопределени коефициенти.

Ако броят е корен на множество. трябва да се търсят vvide

Корените на характеристика уравнение. Общият разтвор на хомогенна уравнение. защото ; броят не е корен на характеристика уравнение. Ние търсим за конкретно решение във формата.

Корените на характеристика уравнение.

3 °. Метод вариант на произволни константи. Методът е подходящ за линейно-уравнения (с постоянни коефициенти и произволна) ако забавно известни система за основно съответстваща хомогенна уравнение. Общо разтвор може да се намери в този случай към дясната страна на произволна форма (по избор стандарт).

Метод (метод Lagrange) е, че целия разтвор се иска под формата

при което - непрекъснато диференцируема функция на х;

- основен система на разтвори на съответния хомогенна

уравнение; - уравнение ред.

Функциите на системата се определят от:

при което - дясната част на дадената формула.

Корените на характеристика уравнение. Фундаментална система от решения :. Общото решение се търси под формата на:

където - константата на интеграция. Общото решение: