Линейната матрица преобразуване - studopediya

Да разгледаме линейна трансформация. Ние намираме връзката между координатите на х и у координати на имиджа си. От координатите векторните зависят от избора на основание, че е необходимо да се създаде основа за намиране на това отношение.

Изберете в наш тримерно пространство на основа,
и нека. Чрез линейността на преобразуване на изображението на вектор х е

Тук - образите на базисни вектори.

Разширяваме векторите на базисни вектори. Обозначаващ координатите на вектора в избраната основа чрез получаване на

Заместването на уравнение (6.2) в (6.1) и промяна на реда на сумиране, ние откриваме

Поради уникалността на разширяването на вектора

Въз основа векторите на равенства (6.3) и (6.4), получаваме

или в разширена форма,

Формула (6.5) се установи връзката между трансформираните Y координатите вектор и координатите на вектор х за линейна трансформация, т.е. представлява линейна трансформация под формата на координатна.

Ние свързват вектори X и Y-колони матрица X и Y, съставена от координатите на векторите в избраната основа:

Тогава (6.5) може да се запише в матрична форма:

Тук - квадратна матрица, т.е. тата колона на който е съставен от координатите на вектора в избраната основа.

По този начин е доказано, че за всяка фиксирана основа на линейна трансформация могат да бъдат написани по уникален начин в матрична форма. матрицата е линейна трансформация матрица (в избраната основа).

Ясно е, че обратното също е вярно: всякакъв вид превръщане (6.6.), Където А - произволна квадратна матрица, и X и Y - матрични колони е линейна трансформация. Наистина, с оглед на свойствата на операции матрица умножение за всички колони X1 и Х2, и всеки скаларна А имат равенства
А (X1 + X2) = AH1 + AX2. А (AH1) = aAH1.

Тъй като в избраната основа между линейните трансформира и матрица на линейна трансформация има едно-към-едно кореспонденция, в случаите, когато се определя на основата, е целесъобразно да се идентифицират трансформация с матрица А и записва линейна трансформация матрична форма Y = AX или координира форма ( 6.5).

При промяна на база варира и матрица линейна трансформация.

Примери. 1. Виж линейна матрица трансформация, където в основата, в която посочените координати на векторите на х и у.

О запис отношенията между координатите на векторите на х и у, съответно, и линейна трансформация матрица А:

2. търсене (в същата база), координатите на вектора при линейна трансформация матрица е даден

○ Линейната трансформация могат да бъдат написани в матрична форма (6.6):

Решаване на уравнението на матрица, ние получаваме,
т.е. , # 9679;