линейна алгебра

Глава 5. елементарна теория на линейни оператори (продължение)

5.3. долепени оператор

Припомнете си, че в Euclidean пространство, скаларно произведение на вектори

Определение. Ако съществува оператор B, както и че за някои от евклидово пространство E е вярно. тогава оператор В се нарича долепени на А и е означен с А *:

Теорема. Ако А на - линия оператор в Euclidean пространство Е и А - неговата матрица в някои ортонормирана база в Е, тогава операторът трябва само оператора конюгат, матрицата на оператора на долепени в същата основа - е матрица Т.

Това доказва теорема в лекция.

Primer.Rassmotrim оператор завъртане пространство U й R J 2 под ъгъл спрямо произхода на часовниковата стрелка:

Т.е. долепени оператор оператор завъртане пространство R 2 под ъгъл й по отношение на произхода на часовниковата стрелка - R пространство 2 на ъгъл на завъртане на оператор - й спрямо произхода на часовниковата стрелка.

Матрицата оператори обръщат на ъгъла и ъгъл й - Ж имат, съответно, на:

Лесно е да се докаже (в лекция оказа) следните свойства на оператора на долепени:

• че свързан с линеен operatru - линеен оператор;
• характерната полином на оператора и

Определение. Ако линеен оператор А. действайки в евклидово пространство E, така че за всеки от Е и панаира. след това на оператора е самостоятелно долепени оператор.

Пример. Р2 оператор - прогнозния пространство на подпространство R 3 R 2 паралелно на вектора :.

Както е посочено по-горе, операторът на матрица Р2 по естествен ортонормирана база

т.е. - оператор на Р2 - оператор самостоятелно долепени.

Тя може да се види, че матрицата на P2 P2 на оператор - симетрична матрица.

Лесно е да се докаже, следните свойства на оператор самостоятелно долепени:

• размер на самостоятелно долепени оператори - долепени оператора;
• Ако оператор е самостоятелно долепени оператор, операторът - също самостоятелно долепени оператор (- реално число).

Може да се покаже (лекцията не е доказано), че операторът на самостоятелно долепени разполага със собствена база ортонормален.

Тъй като А = A *, след това долепени оператор матрица - симетрична матрица. На следващата теорема притежава.

Теорема. Матрицата на оператор самостоятелно долепени в подходяща основа има диагонал форма.

Ясно е, че за да се води самостоятелно долепени матрица оператор да диагонал формуляр, за да намерите най-собствени стойности и диагонал матрица, в която диагонални позиционирани собствените стойности.

Ако искате да напишете израз за намаляване на матрица с диагонал формата, ние все още трябва да се намери собствени вектори, пише преход матрица C, за да се основа на собствения капитал (матрица, чиито колони са координатите на собствени вектори), намери своето обратна матрица C -1, а след това - равенство, свързваща диагонал формата на матрицата на оператора в подходяща основа на матрицата на оператора в дадена основа.

По този начин можем да опишем алгоритъм за намаляване на линейна матрица оператор диагонал форма.

Тя се състои в следното:

• запис матрица оператор в оригиналната основа;
• Пишем характерното уравнение и да се изчисли своите корени;
• намерих подходящата основа на оператора (ако има такъв);
• Ние напиши С матрица, чиито колони са собствените вектори на координати (вектори eigenbasis);
• формула C -1 AC диагонал форма находка оператор матрица - матрица eigenbasis оператор.