Lagrange функция и на Лагранж уравнения на системата

Принципът на действие малко: Действието се развива на минимална стойност при движението на системата. функция на Лагранж характеризира системата, - координати - за скорост - пъти.

Lagrange уравнение решава проблема с минимум. , Ако степента на свобода на системата, то уравнението е вярно за всяка степен (позиция):

Помислете за системата на материалните точки, взаимодействащи помежду си, но не си взаимодействат с чужди тела (затворена система). Взаимодействие между материални точки може да се опише чрез добавяне на Лагранж noninteracting точки () определени (в зависимост от естеството на взаимодействието) координира функция.

(Кинетична енергия минус потенциалната енергия), - радиус вектора на точката на Ith.

Познаването на Лагранж може да се равнява на Лагранж: заместване на Лагранж, получаваме: - уравнение на Нютон. Стойността се нарича силата, действаща върху тата точка.

Ако не използвате декартови координати, както и произволни обобщени координати. След това, за да получите да се направи конверсията :. и замени изразът. След това ние получаваме. къде - зависи само от координатите.

Помислете сега отворена система в областта на системата. поемане на затворена система. функция на Лагранж ще изглежда така:

Заместването на дадена функция на времето и понижаване член. което зависи само от време (и следователно е най-общо производно на някои други функции), ние получаваме: - Лагранж конвенционален тип (тук, но очевидно зависи от време).

За частиците във външна област :; - уравнението на движение.

Когато една механична система със стойности за движение и степени на свобода. Те се променят с времето. Все пак, има функции на тези ценности, които остават постоянни при шофиране ценности, които зависят само от началните условия.

Тези функции се наричат ​​интеграли на движение.

Броят на независимите интеграли на движение за затворена механична система на грижи. където - брой на степените на свобода. Обосновка: общото решение на уравненията на движение съдържат произволни константи (като система от втори ред диференциални уравнения за неизвестни функции). От уравненията на движение на затворена система не съдържа времето изрично, изборът на произход е произволно и един от най-произволни константи в решаването на уравнения винаги може да бъде избран под формата на добавка постоянна във времето. Заличаването на функции. , Това може да се изрази под формата на произволно и функции. който ще бъде интеграли на движение.

Енергия: С оглед на хомогенността на времето не зависи изрично навреме за затворена система, следователно, може да се запише.

В декартови координати.

Импулс: Единство пространство - механично свойство на затворената система не се променя за всяка паралелна система за превод като цяло в пространството. Помислете безкрайно изисква прехвърляне и неизменност. След това. Тъй като - по всяко време, а след това. Ето защо. По силата на уравненията на Лагранж. т.е. пулс.

Моментът на импулса: изотропност пространство - механичните свойства на затворена система не се променят за всяка ротация на системата като цяло в пространството. Нека разгледаме безкрайно въртене и търсенето, което не се е променило.

Поддържа постоянно. , Сменете. , След това. Ние правим циклична пермутация и изваден от знака на сумата от:

С оглед на произвола. , т.е. - момента на инерция на системата остава постоянна (тук, моментът на импулса е предназначен за да се избегне объркване с наименованието на Лагранж).