Lagrange функция едномерна движение

Той призова едномерна движение на система с една степен на свобода. Най-общата форма на Лагранж за такова движение в постоянни външни условия:

където m (р) - функция на генерализирана координати Q на. По-специално, ако р - Декартова координатна х. след това. (2)

Законът на движение на такава система може да се намери най-общо, когато потенциалната енергия не зависи от времето. В този случай, и се съхраняват енергия на системата:

От това уравнение, получаваме: където

Решаването на уравнение (4) се намери връзката между X и т. т.е. намиране на уравнението на движение х (т). Тъй като кинетичната енергия на положителна стойност, общата енергия е винаги по-голям от потенциала. Т.е. движение е възможно само в случая, когато Е> U (х). Нека графиката на потенциалната енергия е форма, показана на фигурата.

Равен права линия на графиката, съответстваща на предварително определена стойност на общата енергия. Състояние E> U (х) съответства на движение в AB или в правото на С. точките, в които Е = U (х) определят границите на движение и спиране точки се наричат. Разбъркайте в района, ограничен от две точки се нарича ограничен. Ако зоната на движение не се ограничава или ограничава от една страна, това движение се нарича безкрайна. Фигурата AB - мястото, оградено движение, областта на правото на точка C - безкраен.

Dimensional краен движение е трептене. На фигурата на тялото се движи в потенциално добре AB между точките x1 и x2. Периодът на осцилация е два пъти по време на размножаване интервала [x1, x2]. Както следва от (4):

Ако използването на формата на Lagrange входната функция (1), формулата за периода на трептене ще най-обща форма:

Помислете за пример движението на един прост махало. На телесна маса m. свързан към твърда безтегловност дължина прът л с фиксирани ходове суспензия точка във вертикална равнина под действието на гравитацията.

Общата координира махало изберете ъгъл J между вертикалните и пръта. Тогава декартови координати, свързани с к, както следва :. Следователно ,. Функцията на Лагранж на прост махало се изчислява по формулата :. Сравняване на тази връзка с формула (1), ние откриваме, че м (р) = 2. След това мл математически махало колебание период в съответствие с формула (6): (7)

J1 ъглите и J2 са условие Е = U. Ако общата енергия E ще бъде по-mglcosj. след уравнението E = U няма да разтвори и движението на махалото ще бъде въртене.