Концепцията на идеала
Идеалният I е подгрупа от елементи на пръстен R, със следните две свойства:
1. I е подгрупа на R. пръстен добавка група
2. За всеки елемент от I и всеки елемент на R R и Аг продукт RA принадлежат I.
В пръстена на положителни и отрицателни числа и нула набор от кратни на някои число, образува идеално.
Тъй като идеал е подгрупа на cosets могат да бъдат формирани в него. В този случай, на съседните класове се наричат класове на остатъчни вещества. Идеален определя първа линия с нулев елемент експанзия в ляво. Освен това, всеки елемент на пръстена, който не принадлежи към идеалното, може да бъде избран като образуване на първа класа на остатъци, и останалите елементи са конструирани клас форми добавянето на всеки елемент от идеал:
Първите елементи са във всеки ред, както и преди, елементите, които не се използват в горните редове. Всеки един от обектите, свързани класове също са верни за класовете на остатъчни вещества. По-специално, тъй като работата на група от допълнение е комутативен, идеалът е нормална делител и допълнение на класовете може да се определи като
където означава класа на остатък, съдържащ R. С това определение на класовете на остатъчни вещества образуват групата добавка (коефициент).
Можете също така да определите умножение на класовете на остатъчни вещества, както следва:
Това определение е валидно само в случай, че независимо от избора на класове на остатъчни вещества, които трябва да бъдат умножени заедно, това съотношение се определя, като продукт на същия остатък клас. Или, с други думи, ако R и R 'принадлежат към един и същи клас на остатъчните количества, РС продукта и R, трябва да принадлежат към един и същи клас остатък. Това условие е изпълнено, ако и само ако на елементите r's'-R принадлежи към идеала. може да се запише
R е '- RS = R е' - R е + R е - RS = R '(S е) + (R' - R) S.
Тъй като елементите S'-S и R'-R принадлежат към идеал, след което всеки от двата термина от дясната страна на това уравнение е също принадлежи към идеал и следователно принадлежи към идеални елемент r's'-Rs. По този начин, на определението за умножение на класовете на остатъчни вещества има смисъл. За по-малко часове на панаира асоциативни и разпределителни закони:
Те са също така просто дистрибутивният закона за умножение отдясно. От това следва, теорема:
ТЕОРЕМА 1. класове остатъчни модул идеал в пръстен образуват пръстен.
Този пръстен се нарича пръстен остатък.
В пръстена на всички числа разгледа идеал, образувана от всички четни числа. Тогава няма да има два класа удръжки. В този случай, аритметична перспектива остатък клас пръстен модул аритметична определя две.
Ideals и класовете на остатъчни вещества от числа.
Ако R, S и Т - числа и RS = т, тогава казват, че т се дели на R или R разделя номер Т. Цяло число p≥1, който се дели само от ± р и ± 1 се нарича просто. Най-големият общ делител (ГРУ) на две цели числа се нарича най-големият положителен броя, което е делител на двете от тези номера. Те казват, че двете числа са сравнително премиер. ако най-голямото им общ делител е 1.
За всяка двойка числа е и г е уникален двойка числа Q (коефициент) и R (остатък) и такива, че:
D общ делител на две числа R и S винаги могат да бъдат представени като:
(I.2). където А и Б - числа.
Да предположим, че броят на 973 и 301. GCD: г-?
3 х 973 = 301 + 70
301 х 4 = 70 + 21
Тъй като броят г е делител на 973 и 301, трябва да бъде делител и остатък 70. От г - 301, и разделител 70, това е делител на 21. Тъй като г - делител 70 и 21, тя се разделя 7. От друга страна, 7 е делител на 21, 70, 301 и 973. Следователно, г = 7.
7 = 70-21 х 3 = 70 - 3 х (301 - 4 х 70) = -3 х 301 + 13 х 70 = -3 х 301 + 13 х (973-3 х 301) х 973 = 13 - 42 х 301.
Теорема 1. Комплектът числа представлява идеален, ако и само ако то се състои от всички кратни на някои число.
Доказателство. Нека R - най-малкото положително цяло число, в идеалния случай, е - всяко друго число, принадлежащи към идеала. След това НОД на номера г принадлежи към идеала, защото чрез определянето на идеалните двата термина в дясната страна на (т.2) принадлежат към идеала, и по тази причина, сумата им се съдържат също в идеал. Тъй като R - най-малкото положително число, в идеалния случай r≤d. Тъй като R, разделена г, на d≤r. Следователно, г = г и и е разделена на R, т.е. от R споделят всяко цяло число, принадлежащи към идеал. И накрая, всяко кратно на R, принадлежи към идеалното определение на идеала.
Идеалът, който се състои от всички елементи, един от множество елементи на пръстена, нарече главен идеал. и пръстен, в който всяка глава, идеална, наречен основен идеален домейн.
Идеално, която се състои от всички кратни на положително цяло число m, означена с (т). Остатък клас пръстен, образуван класове остатъчни модул идеално (М), се нарича пръстен на числа по модул m.
Теорема 2. Всеки остатък клас модул m съдържа 0 или положително число по-малко от m. Нулева е идеалното елемент, както и всички други положителни числа по-малки от м, принадлежат към различни класове на остатъци.
Доказателство. Ако е - всеки член на класа на остатъци, АС. Г - той принадлежи към същия клас и удръжки. Ако R и S принадлежат към същия клас остатъци, за разлика R-S е елемент на идеален, и следователно кратно на м. Ако R ≠ е тогава очевидно, тези числа не могат да бъдат по-малко от две и m са не-отрицателни.
Теорема 3. пръстен на остатък класове по модул m е област, единствено и само ако м - председател.
Доказателство: Ако m - не нулевия, тогава m = RS за някои цели числа R и S, които не са кратни на м. Ето защо. и ако клас остатък е обратна. след това. което противоречи на предположението. Следователно остатък клас не може да има назад и клас остатък пръстен не е поле.
Сега остава да се покаже, че ако м - просто число, а след това за всеки клас остатъци, различни от 0 (идеална), съществува обратна. Всеки клас съдържа остатъци число и е по-малко от m и не 0. От 1 съвпада с обратна на елемента може да се приеме, че е> 1. Тъй като по условие м - просто число, най-големият общ делител на м и е трябва да е равна или на м, или 1, но m> а и поради това, а не се дели на м. Следователно GCD м и и е 1. По силата на (I.2) :. И това следва, че. т.е. остатък клас е обратна на класа на остатък.
Изградена по този начин, се нарича поле или няколко области на Galois области на р елементи GF (р).