Границите на ирационалното

Граници съдържащи ирационалност (или просто, корените) е изключително популярни сред авторите на примерни изчисления и тестове в по-високи математика. Три групи от несигурност обикновено се считат за:

В тази тема ще разгледаме всички тези три групи в границите с ирационалното. Нека да започнем с ограниченията, които съдържат неопределен форма $ \ Фрак $.

Разкриване на несигурност $ \ Фрак $.

Схемата за стандартни разтвори на примери от този тип обикновено се състои от два етапа:

Да се отървем от ирационалност, което е причинило несигурност, умножаване на така наречените "конюгат" израз;
Ако е необходимо, ние се разлагат в числителя или знаменателя (или тук и там) на множители;
Намаляване на фактори, които водят до несигурност и изчисляване на желаната стойност на границата.

Терминът "конюгат експресия", както е използван по-горе, ще бъдат подробно описани в poyasnon на примери. Засега спирам на него няма причина в детайли. Като цяло, това е възможно да се отиде по друг начин, без използването на израза за конюгат. Понякога, ирационалност може да достави добре подбрани замяна. Такива примери са рядкост в стандартните справочници, по този начин замества използването разгледа само един пример №6 (см. Втора част от обекта).

Ние ще трябва някои формули, които ще напиша по-долу:

В допълнение, ние приемаме, че читателят знае формулата за решаване на квадратно уравнение. Ако $ x_1 $ и $ x_2 $ - корени на квадратичен трином $ брадва ^ 2 + BX + в $, след това се разширяват до факторизирането може да бъде, както следва:

Формули (1) - (5) ще бъдат достатъчни за решаване на конвенционалните проблеми, на които ние сега да продължат напред.

Тъй $ \ Lim _ (\ SQRT-2) = \ SQRT-2 = \ SQRT-2 = 0 $ и $ \ lim_ (х-3) = 3-3 = 0 $, дадена граница, ние имаме несигурността на форма $ \ Фрак $. Разкриват тази несигурност не ни позволява да разлика от $ \ SQRT-2 $. За да се отървете от тези несъвършенства, използвайте умножение на така наречените "конюгат израз." Как става това умножение вече ги разглеждаме. Умножение $ \ SQRT-2 $ на $ \ SQRT + $ 2:

За да отворите скобите се отнасят формула №1. заместване на дясната страна на формулата, $ а = \ SQRT $, $ б = $ 2:

Както можете да видите, ако умножим числителя от $ \ SQRT + 2 $, а след корена (т.е. ирационален) в числителя ще изчезне. Тук е израз на $ \ SQRT + $ 2 и ще бъде конюгиран с експресията на $ \ SQRT-2 $. Въпреки това, ние не можем просто да вземе и умножим числителя от $ \ SQRT + 2 $, тъй като тя ще се промени фракция $ \ Frac-2> $ стои под лимита. Умножение нужда odovremenno и на числителя и знаменателя:

Сега се помни, че $ (\ SQRT-2) (\ SQRT + 2) = 3-х $ и разкрие скоби. И след разширяване и преобразуване на малък $ 3-х = - (х-3) ще намали част от $ $ рентгенови 3 $:

Несигурността $ \ Фрак $ изчезна. Сега можете лесно да получите отговор в следния пример:

Имайте предвид, че изразът на конюгат може да промени нейната структура - в зависимост от това какъв вид ирационалност, тя трябва да бъде премахната. В примерите №4 и №5 (см. Втора част на темата) ще бъде използван този вид израз на конюгат.

Тъй $ \ Lim _ (\ sqrt- \ SQRT) = \ sqrt- \ SQRT = 3-3 = 0 $ и $ \ lim_ (3 х ^ 2-5x-2) = 3 \ cdot2 ^ 2-5 \ cdot 2- 2 = 0 $, тогава ние се справят с несигурността на форма $ \ Фрак $ на. Отърви се от ирационалност в знаменателя на фракцията. За тази domozhim както числителя и знаменател на фракция $ \ фракционатор \ SQRT> $ върху експресията на $ \ SQRT + \ SQRT $, конюгат на знаменател:

Отново, както в пример №1, трябва да се използва формулата за разкриване №1 скоби. Заместването на дясната страна на формулата, $ а = \ SQRT $, $ б = \ SQRT $, ние получаваме израз за знаменателя:

Обратно към нашата граница:

Пример №1 почти веднага след размножаването чрез експресия на конюгат е намалена фракции. Тук, предварително нарязани ще трябва да фактор изрази $ 3x ^ 2-5x-2 $ и $ х ^ 2-4 $, а след това да отида да се свие. За да фактор изразяването на $ 3x ^ 2-5x-2 $, което трябва да се използва формулата №5. За да започнете решаването на квадратно уравнение $ 3x ^ 2-5x-2 = 0 $:

Заместването $ x_1 = - \ $ Frac, $ x_2 = 2 $ във формулата №5. имаме:

$$ 3x ^ 2-5x-2 = 3 \ cdot \ наляво (Х- \ оставя (- \ Frac \ дясно) \ дясно) (х-2) = 3 \ cdot \ наляво (х + \ Frac \ дясно) (х -2) = \ наляво (3 \ cdot х + 3 \ cdot \ Frac \ дясно) (х-2) = (3x + 1) (х-2). $$

Сега беше ред на фактор изразяването на $ х ^ $ 2-4. Ние използваме формулата №1. заместване в нея $ А = х $, $ б = $ 2:

Ние използваме тези резултати. Тъй $ х 2-4 = (х-2), (х + 2) $ ^ и $ 3 х ^ 2-5x-2 = (3 х + 1) (х-2) $, тогава:

Разделяне от х-скоба $ 2 $ получаваме:

Всичко! Несигурността е изчезнала. Още една стъпка и стигаме до отговора:

В следващия пример, помислете за случаите, когато ирационалност ще присъства както в числителя и знаменателя на фракцията.

От _ (\ sqrt- \ SQRT) = \ sqrt- \ SQRT = 0 $ и $ \ Лим _ (\ sqrt- \ SQRT) = \ sqrt- \ SQRT = 0 $, а след това ние имаме безлично $ \ Фрак $ \ Лим $. Тъй като в този случай корените са налице и в знаменателя и числителя, а след това, за да се отървете от несигурността са само умножете двете скоби. На първо място, на експресията на $ \ SQRT + \ SQRT $, конюгира числителя. И на второ място върху експресията на $ \ sqrt- \ SQRT $, конюгатна знаменател.

Скобите, използвайки формулата №1. получаваме:

Що се отнася до границата, ние имаме:

Остава да фактор изрази $ -х ^ 2 + х + 20 $ и $ х ^ 2-8x + 15 $. Нека започнем с израз $ -x на ^ 2 + х + $ 20. За да се развива върху факторите, необходими за решаване на уравнение $ -x ^ 2 + х + 20 = 0 $, и след това се използва формулата №5:

За изразяване $ х ^ 2-8x + $ 15, получаваме:

Заместването тези razozheniya $ -х ^ 2 + х + 20 = - (х-5) (х + 4) $ и (х-3), (х-5) $ $ х ^ 2 + 8x + 15 = в границата на отчитане, имаме:

В следващия (втори) страна, помислете за няколко примера, в които експресията на конюгата ще има различен поглед, отколкото в предишни задачи. Основното нещо, не забравяйте, че целта на използването на конюгат на изразяване - да се отърве от ирационалност, което води до несигурност.