Геометрични характеристики на втория ред линия
Точка С (3, 1) е в центъра на кръга на линия изключване 2x-5Y + 18 = 0 хорда, чиято дължина е равна на 6. Създаване на уравнение на окръжността. Виж решение.
Елипсата е мястото на точки, за които сумата от разстоянията на две фиксирани точки в равнината, наречен огнища, е константа по-голямо от разстоянието между огнища. Постоянно сумата от разстоянията от всяка точка на елипсата на огнища обикновено обозначен с 2а. огнища на елипсата обозначени с буквите F1 и F2. разстоянието между тях - през 2в. По дефиниция елипса 2а> 2с или> С.
Да се даде елипса. Ако осите на Декартова координатна система са избрани така, че фокусните точки на елипсата са разположени на абсцисната ос симетрично по отношение на произхода, в тази координатна система, в уравнението на елипсата се изчислява по формулата
х ^ 2 / на ^ 2 + Y ^ 2 / б ^ 2 = 1 (1)
където В = SQRT (а ^ 2-с ^ 2); очевидно, а> б. Уравнението на форма (1) се нарича каноничен уравнението на елипсата.
С този избор на координатна система, координатните оси са оси на симетрия на елипсата и произхода - нейния център на симетрия (фиг.). Ос на симетрия с елипсата, посочени просто като оста му, в центъра на симетрия - център. Точките, в които елипсата пресича оста си, се наричат негови възли. Фиг. ABCD елипса връх точки А ', А, В', Б. Често елипса оси се наричат също сегменти Â'Ã = 2а и 2Ь B'B =; заедно с сегмента OA = наречен голямата ос на елипсата, сегмент OB = б - малка ос.
Ако огнища елипсата са разположени на у-ос (симетрична около произхода), уравнението на елипса има същата форма като (1), но в този случай б> А; Ето защо, ако искаме буквата А представлява голяма полуос, уравнението (1) трябва да бъде буквите А и Б разменят. Въпреки това, за удобство на езикови проблеми, ние сме съгласни с буквата и винаги означаваме половин линия, разположен на оста х, буквата Б - ос вал, разположен на оста у, независимо от факта, че по-голяма, а и б. Ако А = В, след това уравнение (1) определя кръг, който се третира като специален случай на елипса.
където - голяма полуос, наречена ексцентричността на елипсата. Очевидно е, че ε F1M = r1 и r2 = F2M (фиг.) Са фокусна радиусите на точката М. фокална радиуси може да бъде изчислена от формули
R1 = а + εx, R2 = а - εx
Ако елипсата се определя от уравнение (1) и> б, след това линиите
directrices наречен елипса (когато б> А, направляващата определя от у уравнения = Ь / ε, у = б / ε)
Всяка директриса има следната имота: ако R - разстоянието от произволна точка на фокус на елипсата, г - разстояние от една и съща точка на едностранно с този фокус директриса, съотношение R / D е константа, равна на ексцентрицитета на елипса:
Ellipse ексцентричност е = 2/3, радиусът на фокусната точка на елипсата е равно на М 10. Изчислете разстоянието от точка M до едностранно този фокус директриса. Виж решение.
Елипса ексцентрицитет Е = 2/5, разстоянието от точката на елипсата на направляващата е 20. Изчисли разстояние от точка М на фокуса, едностранно с това директриса. Виж решение.
Хипербола е мястото на точки, за които разликата между разстоянията на две фиксирани точки в равнината, наречен огнища, е постоянно; тази разлика се взема от абсолютна стойност и е означен с 2а. Фокусира хипербола обозначени с буквите F1 и F2. разстоянието между тях - през 2в. По дефиниция хипербола 2а х ^ 2 / на ^ 2 - Y ^ 2 / б ^ 2 = 1
където В = SQRT (С ^ 2 - а ^ 2). Уравнението на форма (1) се нарича каноничен уравнението на хипербола. С този избор на координатна система, координатните оси са оси на симетрия на хипербола и произхода - (. Фиг) неговия център на симетрия. Оста на симетрия на хипербола означаван само като си оси на симетрия център - центъра на хипербола. Хипербола пресича един от неговите оси; пресечните точки се наричат върхове на хипербола. Фиг. ABCD хипербола връх точки А "и А.
Правоъгълник със страни 2а и 2Ь, разположени симетрично спрямо оста на хипербола, и свързани с върховете, наречен основния правоъгълник хипербола.
Дължина 2а и 2Ь, свързващ средите на главния правоъгълник хипербола, наричан също неговите оси. Главна диагонал на правоъгълника (удължения за неопределено време) са асимптоти на хипербола. техните уравнения са
-х ^ 2 / на ^ 2 + Y ^ 2 / б ^ 2 = 1 (2)
определя хипербола, симетрично спрямо координатните оси, с огнища на ординатата; Уравнение (2), уравнение (1) се нарича каноничен уравнението на хипербола; В този случай, постоянна разлика от разстоянията от всяка точка на огнища на хиперболата е 2б.
Две от хипербола, които се определят от уравненията
х ^ 2 / на ^ 2 - Y ^ 2 / б ^ 2 = 1, Х ^ 2 / на ^ 2 + Y ^ 2 / б ^ 2 = 1
в една и съща координатна система, наречена конюгат.
Хипербола равни semiaxes (А = б) се нарича равностранен; каноничната си уравнение е
където - разстоянието от центъра на хиперболата си отгоре, наречен ексцентричността на хипербола. Очевидно е, че за всеки от епсилон на хипербола> 1. Ако М (х; у) - произволна точка на хипербола, F1M на отсечки и F2M (.. виж фигурата) се наричат фокусна точка радиуси М. фокусна точка радиуси на правото на хипербола клон се изчислява чрез формули
R1 = εx + A, R2 = εx - на
фокусните точки на радиусите на лявото отклонение - формулите
R1 = -εx - А, R2 = -εx - на
Ако хипербола дава с уравнението (1), след това линиите, определени от уравнения
нарича своите directrices (вж. фиг.). Ако хипербола дава с уравнението (2), на направляващата определя от уравнения
Всяка директриса има следната имота: ако R - разстоянието от произволна точка на фокус на хипербола, г - разстояние от една и съща точка на едностранно с този фокус директриса, съотношение R / D е константа, равна ekstsentrisistetu хипербола:
Ексцентритет хипербола е = 2, радиусът на своя фокусна точка F, съставен от фокус е 16. Изчисли разстояние от точка М до едностранни този фокус директриса. Виж решение.
Ексцентритет хипербола д = 3/2, чийто център е в основата, един от directrices дава с уравнението х = -8. Изчислява разстоянието от M1 хипербола с абсциса равна на 10, за цел, съответстваща на предварително определен директриса. Виж решение.
Парабола е мястото на точки за всяка от които разстоянието до фиксирана точка в равнината, наречен фокусна точка, равна на разстоянието до фиксирана права линия, наречена направляващата. Фокусът на параболата, обозначен с буквата F, разстоянието от фокуса на направляващата - буквата р. номер Р се нарича параметър на параболата.
Да се даде парабола. А декартови правоъгълна координатна система, така че оста х преминава през фокуса на параболата и перпендикулярна на направляващата на направляващата е насочено към цел; Произходът се намира по средата между фокуса и направляващата (фиг.). В тази координатна система, това парабола се определя от уравнението
Уравнение (1) се нарича каноничен уравнение на парабола. В същата координатна система е направляващата на уравнение на парабола
Координационно радиус на произволна точка М (х; у) на парабола (т.е. дължината на сегмент F (М) може да се изчисли чрез формулата
Параболата има една ос на симетрия, наречена ос на парабола, която пресича в една точка. Пресечната точка на параболата с оста нарича своя връх. Когато по-горе координатната система избиране оста парабола приведено в съответствие с хоризонталната ос, връх е в основата, цялата парабола се намира в дясната половина на самолета.
Ако координатната система е избрана така, че оста х приведено в съответствие с оста на параболата, произходът - с връх, но параболата е в лявата полуравнина (. Фиг), уравнение му ще има формата
В случай, че произходът му е в горната част и се изравни с оста на ординатата, параболата ще има уравнението
ако е в горната половина равнина (фиг.) и
ако в долната половина (фиг.)
Всяка от уравнението на парабола (2), (3) и (4), уравнение (1) се нарича каноничен.
Изчислете фокусна точка на радиус M на у парабола ^ 2 = 20x, ако абсцисата на точка M е равна на 7. Вж решение.
Уравнението на параболата, ако даден фокуса F (4, 3) и х-директриса 5 = 0 Виж решение.
Полярният уравнението на елипса, хипербола, параболата
Polar уравнение. цялостната форма на елипса, хипербола и парабола, има формата
където р, θ - полярни координати на точка на линия р - фокална параметър (фокусното половина акорд линия, перпендикулярна на оста от него), ε - ексцентрицитета (в случая на параболата ε = 1). Полярна координатна така избрани така, че полюс е на фокус система, както и на полярната ос, насочена по оста линията в посока, противоположна на тази най-близкия фокус директриса.
Предвид уравнението елипса х ^ 2 / на ^ 2 + Y ^ 2 / б ^ 2 = 1. Създаване му полярен уравнение при условие, че посоката на полярната ос съвпада с положителната посока на оста х, и полюс се намира в центъра на елипсата. Виж решение.
Предвид уравнението на хиперболата х ^ 2 / на ^ 2 - Y ^ 2 / б ^ 2 = 1. Създаване му полярен уравнение при условие, че посоката на полярната ос съвпада с положителната посока на оста х, и полюс е в центъра на хиперболата. Виж решение.
Предвид уравнение на парабола ш ^ 2 = 2px. Създайте своята полярна уравнение при условие, че посоката на полярната ос съвпада с положителната посока на оста х и полюс се намира на върха на параболата. Виж решение.
