Двойното пространство и неговата основа
Да - линеен линейно пространство над полето. ,
Def. Цифрово функция у = F (ф) и аргументите на полеви стойности се нарича линейна функция на пространството. където :;
Def. Пространството на линейни функции на вектор пространство, наречено двойно пространство и означаване.
Функциите на пространството. Наречен covectors и себеизразяване
Def. Covector вектор ф и е се наричат взаимно ортогонални, ако
Функционално, наречена координатната основа функционали <>. За тях (1). Уравнение (1) се наричат отношения biorthogonality и системата на вектори Е =<> и F =<>, задоволяване (1) -biortogonalnymi които са определени като Е Е.
Теорема. Координатна функционален. линейно независими и образуват на базата на.
Следствие. Всяка основа на пространството E suzestvuet на, и само един, на базата на пространството F. така че Е Е.
Def. Основа и F =<>, изградена от координатната функционална основа <>. В. Тя се нарича двойна основа за E.
Ортогонална допълнение на двойната пространство
Def. Нека бъде произволно подпространство на вектор пространство. Множество covectors. които са ортогонални на всички вектори. Тя се нарича ортогонална допълнение на пространството и е обозначен с. ,
С други думи, е правоъгълната допълнение към - множеството от всички линейни функции на. изчезне на вектори от
В допълнение, ортогонално допълнение.
Теорема. Ортогонално допълнение на подпространство. докато
Доказателство. Да - произволна covector от правоъгълната допълнение. Нека покажем, че е covector ортогонален на всички носители на правоъгълната еквивалент fvektoram никакво основание инча
Да предположим, че е основа във времето за разлагането на всеки вектор. и с оглед на линейността на е е вярно
по този начин произволна covector разтвор на (1). За дадена основа с основа вектори на формата (1) е еквивалентна на системата от линейни алгебрични уравнения: (2).
Тъй LNZ вектори, чин матрица система (2) е равна на к. както е известно от линейната алгебра, че наборът от разтвори (2) образува вектор пространство на измерение п-к. Това е еквивалентно на твърдението.
Нека да е линейна картографиране A: →.
Def. Картографиране нарича двоен дисплей за А, ако има такива, както и за всяка следваща връзка :.
Теорема. За всяка дадена линейна картографиране Конюгат картографиране съществува линейна и уникален.
Dokvo. Ние построи картографиране, отговаря на условието за конкретния дисплей А. За да настроите дисплея. е необходимо да се определи съответната функционалност за всяка функция. ж е образ под дисплея. Но ние трябва да поиска от функционалността of.-Това означава да се определи неговия ефект върху произволен вектор. Ние определяме правило това действие. Като се има предвид определяне на отношението на двойното обозначаване имаме :.
От това следва, че за даден желания функционален ефект върху функционалното произволен вектор се определя, както следва. Първият картографиране прилага: → да вектора. в резултат на което му образ - вектор. Тогава ние се изчисли стойността на конкретно функционалност и да се получи стойността на вектор
по този начин конюгат картиране се дефинира като състав. защото тези условия са изпълнени :. тогава можем да кажем, че дисплеят ще бъде линейна.
Да - две карти, което е вярно. След това за всички. От това следва, че <( |u>= 0. Ние се определи г и ще се промени ф. След това на елемента (. Като линейна функция да приемат само нулеви стойности, и по тази причина е нула. Ето защо. Това доказва уникалността и завършва доказателството на теоремата.
Теорема. Нека A: → - линейна карта Е и Н - и основите на мишката. съответно - biorthogonal основи и пространство. След това, ако карта в основата на Е и Н е матрица, конюгатът показва на biorthogonal бази и има матрица.