Директен и обратна пропорционалност
Ако т - време движение на пешеходците (в часове), S - изминатото разстояние (в км), и се движи равномерно със скорост 4 km / h, отношението между тези стойности може да се изрази с формулата S = четиритона. Тъй съответства уникална стойност и за всяка стойност на т, можем да кажем, че с формула и функция = 4 т е настроен. Тя се нарича пряка пропорционалност и се определя по следния начин.
Определение. Директното пропорционалността е функция, която може да бъде определена от KX формулата у =, където К - неравна на нула реално число.
Името на функция у = к х дължи на факта, че във формула Y = на KX имат променливи х и у, което може да бъде стойност. И ако съотношението на двете величини, равни на редица различни от нула, те се наричат пряко пропорционално. В нашия случай = К (к ≠ 0). Този номер се нарича коефициент на пропорционалност.
функция у = к х е математически модел на много реални ситуации вече в процес на разглеждане в началния курс по математика. Един от тях е описано по-горе. Друг пример: ако един пакет 2 кг брашно, като х закупен пакет, общото тегло на закупени брашно (означен с у) може да бъде представено с формулата у = 2, т.е. връзка между броя на пакетите и цялата маса на закупения брашно е пряко пропорционално на коефициент к = 2.
Припомняме, някои свойства на пряка пропорционалност, които се изучават в училищния курс по математика.
1. домен на функция у = к х и областта на неговите стойности е набор от реални числа.
2. Графиката на пряка пропорционалност, е права линия, преминаваща през началото. Следователно, за да се начертае пряка пропорционалност е достатъчна, за да се намери само една точка, той притежава и не съвпада с произхода, а след това през тази точка и произхода нарисувате права линия.
Например, за да се изгради графика на функция у = 2x, има достатъчно точка с координатите (1, 2) и след това през тях и изготвя права произход (фиг. 7).
3. за к> 0, функция у = KX увеличение на целия домен; за к <0 - убывает на всей области определения.
4. Ако функция е - (. X2 y2) директно пропорционалността и (. X1 y1), - двойки от съответните стойности на променливите х и у, и Х2 ≠ 0 след това.
Всъщност, ако F функция - директно пропорционалността, може да бъде определена от формула Y = KX, след което Y1 = КН1. v2 = КН2. Откога x2 ≠ 0 и к ≠ 0, v2 ≠ 0. Поради това означава.
Ако стойностите на променливите х и у са реални положителни числа, а след това да се окаже пряка собственост пропорционалност може да се твърди, както следва: с увеличението (намаление) на стойността на променливата х е няколко пъти съответната стойност на у увеличава (намалява) със същия коефициент.
Този имот е присъщо само в пряка зависимост, и може да се използва при решаването на проблемите на думи, които се занимават пряко пропорционално на стойността.
Задача 1. В рамките на 8 часа стругови 16 произведени части. Колко часа е необходим за производството на стругови 48 части, дали той ще работи със същия капацитет?
Решение. Големината на проблема, адресирано - работата на стругар, броят на части и изпълнението им направи (т.е. броя на части, произведени стругар в продължение на 1 час), като последното количество е константа, а останалите поемат различни стойности. Също така, броят на частите и времето, необходимо съвместяване на професионалния и магнитуд пряко пропорционално, тъй като тяхното съотношение е някакъв номер не е равна на нула, а именно -. Броят на части, произведени стругар в продължение на 1 час, ако сумата на позициите, взети от писмо номинирания, време х, и изпълнение - к, ние откриваме, че = к или у = KX, т.е. математически модел на ситуацията, представена в този проблем е директен пропорционалност.
За решаване на проблема по два начина аритметика:
Метод 1: Метод 2:
1) 16 8 = 2 (част) 1) 48:16 = 3 (пъти).
2) 48: 2 = 24 (з) 2) 8-3 = 24 (з)
Решаването на проблема на първия метод, за първи път се намери фактор пропорционалност к, то е равно на 2, а след това, знаейки, че у = 2, намерете стойността на х с уговорката, че у = 48.
В решаването на проблема втория метод, ние използвахме имот директно пропорционалността: колко пъти увеличава броя на части, направени от стругар, възможно най-много време и увеличава количеството на времето за тяхното производство.
Ние сега разгледаме функцията, наречена обратна пропорционалност.
Ако т - време пешеходци (в часове), V - скорост (в км / ч) и е 12 km, отношението между тези стойности може да се изрази с формулата V # 8729; Т = 20 и V =.
Тъй като всяка стойност съответства на уникална стойност на Т скоростта (т ≠ 0) V, можем да кажем, че с формула V = посочено функция. Тя се нарича обратна пропорционалност и се определя по следния начин.
Определение. Inverse пропорционалност е функция, която може да бъде определена от = формулата у. където к - различна от нула реално число.
Името на тази функция се дължи на факта, че е у = х и у, които могат да бъдат стойност. И ако продуктът от две количества, равни на брой, различна от нула, а след това те се наричат обратно пропорционална. В нашия случай, XY = к (а ≠ 0). Този номер к се нарича коефициент на пропорционалност.
У функция = е математически модел на много реални ситуации вече в процес на разглеждане в началния курс по математика. Един от тях е описана преди обратната дефиниция. Друг пример, ако закупени 12 кг брашно и разпространението му в х у кг кутии на всеки, зависимостта между стойностите на данни могат да бъдат написани като у = х-12, т.е. е обратно с фактор к = 12.
Припомняме, някои свойства на обратна пропорционалност познат от училище математика.
1. Област на дефиниция на функция у = х областта на ценностите си е набор от реални числа, различни от нула.
2. Графиката на обратната пропорционалност е хипербола.
3. Когато к> 0 хипербола клон намира в 1-ви и 3 квадранта и функция у = намаляваща през областта на х (фиг. 8).
кога да се <0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция у = является возрастающей на всей области определения х (рис. 9).
4. Ако функция е - (. X2 y2) обратна пропорционалност и (. X1 y1), - двойки от съответните стойности на променливите х и у ,.
Всъщност, ако функцията F - обратна пропорционалност, може да бъде определена от Y = формулата и след това. Тъй като x1 ≠ 0, 0 ≠ x2, x3 ≠ 0,
Ако стойностите на променливите х и у са реални положителни числа, е обратно пропорционална на имота може да се твърди, както следва: с увеличението (намаление) на стойността на променливата х е няколко пъти съответната стойност на у намалява (увеличава) със същия коефициент.
Този имот е присъщо само обратно пропорционално, и може да се използва при решаването на проблемите на думи, които се считат обратно пропорционална.
Задача 2. колоездач движи със скорост от 10 км / ч, изминато разстояние от точка А до точка Б в продължение на 6 часа. По кое време прекарват велосипедист по пътя обратно, ако шофирате 20 km / h?
Решение. Въпросът, ценности: скорост на велосипедиста, движението и разстоянието от точка А до точка Б, като последното количество е константа, а останалите поемат различни стойности. Освен това, скоростта и движението на времето - стойности са обратнопропорционални, като техния продукт е равна на някои номер, а именно изминатото разстояние. Ако водачът на времето движение, обозначен с буквата Y, скорост - х, а разстоянието AB - к, виждаме, че XY = к или Y =. т.е. математически модел на ситуацията, представена в този проблем, е обратно пропорционална.
За решаване на проблема по два начина:
Метод 1: Метод 2:
1) 10-6 = 60 (км) 1) 20:10 = 2 (пъти)
2) 60:20 = 3 (4) 2) 6: 2 = 3 (з)
Решаването на проблема на първия метод, за първи път се намери фактор пропорционалност к, това е равно на 60, а след това, знаейки, че Y =. намерено стойност Y, при условие, че х = 20.
В решаването на проблема втория начин ние използвахме е обратно пропорционална на имота, който нараства с броя на случаите на скоростта на движение, същия коефициент са намалели по време на преминаването на същото разстояние.
Имайте предвид, че решаването на конкретни проблеми, свързани с обратно пропорционална или пряко пропорционално на големината наложено някои ограничения върху х и у, по-специално, те не могат да се видят по целия набор от реални числа и нейните подгрупи.
Задача 3. Лена купил х моливи, Катя и 2 пъти повече. Определете броя на моливи, Катя, закупени от години, изрази по отношение на х и парцел създадена кореспонденция с уговорката, че h≤5. Дали тази функция съответствие? Каква е неговата домейн и диапазон от стойности?
Решение. Kate закупени у = 2х моливи. При нанасяне на функция Y = 2x трябва да се отбележи, че променливата х представлява броя на моливи и h≤5, така че може да се само стойностите 0, 1, 2, 3, 4, 5. Тази област ще определи функцията. За да се получи диапазон от стойности на тази функция, е необходимо за всяка стойност х на домейна се умножава по 2, т.е. тя ще бъде създадена. Следователно, графиката на функция у = 2 х с домейн е множеството от точки, показани на Фигура 10. Всички тези точки принадлежат към линия у = 2X.
