4 асимптотичната разширения

Асимптотичната формули често са полезни за приблизителни Функции за изчисляване на представените интеграли с параметър, по-специално, в изследването на поведението на диференциални уравнения.

4.1 Концепцията на асимптотичната разширяване

4.1.1 On-символика. асимптотичната последователност

1. О, символи и O. Нека функция F (х) и г (х), определена на набор B и нека х 0 - ограничение точка на този набор, т.е. във всеки квартал на х 0 и други точки на набор Б. променлива х Предполага се, реални или комплекс. Ако х е реално, то B е обикновено

- квартал или semineighborhood точка х 0. комплекс случай Б - лъч или сектор с връх в точка х 0.

а) е (х) = О (ж (х)) при х → х 0. х B, средства

б) е (х) = О (г (х)) при х → х 0. х В, означава, че съществува постоянна С и точка съседство х 0. V че

а) е (х) = О (х -∞), когато х → ∞ показва, че е (х) = О (X-N), за всяко цяло число N ≥ 0.

Забележка. Обикновено в такива случаи, думата "когато" за кратко се заменя със запетая.

6.1. Покажете, че

б) грях Z = О (д Im Z), Z → ∞, където 0 ≤ Arg Z ≤ π; а) LN п = О (п а), п → ∞, ако> 0;

г) д -λ = О (λ -∞), λ → ∞, където | арг λ | ≤ π / 2 -. където> 0; г) Х = О (X б), х → 0 ако> б;

д) х с = о (х б), х → ∞, ако

а) Ако е (х) = О (г (х)) и г (х) = О (Н (х)), след това е (х) = О (Н (х)); б) ако е (х) = О (г (х)) и г (х) = О (Н (х)), след това е (х) = О (Н (х)); в) ако е (х) = О (г (х)) и г (х) = О (Н (х)), след това е (х) = О (Н (х)).

тя се нарича асимптотичната последователност (АР)

Когато X → х 0. х Б. Посочване на набор B обикновено се пропуснат, освен ако контекстът ясно какъв е залогът.

6.6. Покажете, че stepennye последователност ":

а) 1, Z, Z 2. Когато Z → 0, б) 1, Z -1. Z -2. Когато Z → ∞,

Забележка: в повечето случаи се използва stepennye "AP.

6.7. Дали функции форма LN х, LN LN х, LN LN LN х. AP когато х → + ∞?

6.8. В сектор Z равнина последователност на функции ехр (-Z), Exp (-z 2), Exp (-z 3). Z → ∞, е асимптотичната?

4.1.2 асимптотичната разширяване на функцията

1. Официално серия. Нека φ 0 (х), φ 1 (х). - асимптотичната последователност на х → х 0. 0. и нека на 1. - произволен цифров последователност. Ние образуват частични суми

σ 0 (х) = 0 φ 0 (х), σ 1 (х) = 0 φ 0 (х) + 1 φ 1 (х).

σ п (х) = 0 φ 0 (х) + 1 φ 1 (х) +. + A п φ п (х).

Последователността на частични суми наречен официално асимптотичната серия от АР, х → х 0. За официални редове използва същия протокол като този за конвенционален конвергентна редица функции:

след това се каже, че F функция (х) има х → х 0 асимптотичната разширение (АР) в съответствие с точката за достъп,

И ще го напиша във формата на

е (х) в к φ к (х), х → х 0. х Б.

Ако (2) притежава само за п = 0, 1. N, след това да кажем асимптотичната разширяване на функцията на N-тия елемент. В конкретния случай на N = 0 се каже за асимптотичната представяне на функцията. Например, при х → 0 асимптотичната разширяване на експонента на втори план: д х 1 + х + х 2/2; асимптотичната представяне допирателна: TG х х (тук φ 0 (х) = х).

Определяне на AR (2) означава, че F функция (X) в съседство на последователност х 0 приблизителни формули:

е (х) ≈ 0 φ 0 (х), е (х) ≈ 0 φ 0 (х) + 1 φ 1 (х).

където всеки следващ предходната формула определя в смисъл, че последващото сближаване на грешка в сравнение с предходната Грешката е безкрайно когато х → х 0. Това обаче не означава, че на практика, че по-голямата броя на термини, използвани за да се изчисли приблизително функция, толкова по- Тя ще грешка. Въпросът за това как трябва да се вземат много от членовете на асимптотичния разширяването за сближаване на функции, не е лесно. В някои случаи разликата между тази функция и частична сума от AR могат да бъдат представени под формата на неделима, които са неизброими.

В най-общия случай, можете да следвате правилото: изберете число не по мястото, след което общ термин започва да се увеличава. Като правило, общ термин на Азербайджан за увеличаване на неговия номер първо намалява, а след това, като се започне с определена "критична" номер, може да започне да расте. Този критичен брой п е обикновено в зависимост от стойността на х: х-близо до лимита си, големият н. На практика трябва да се ограничи до окончателното сегмента на официалната серия, съкращаване на тази серия да критичен брой. За описание на качествения поведението на функцията обикновено е достатъчно за първи срок на разширяването. Асимптотичната разширения и представяне наречени накратко думата "асимптотично поведение".

Имайте предвид, че отново официалната асимтотична серия P в к φ к (х) не е задължително да се сближат в обичайния

Г-н смисъл, т.е. не може да съществува ограничение Лим в к φ к (х). Освен това, дори ако формалните

клони от поредицата, нейната сума може да бъде равна на друга функция.

6.9. Покажете, че:

а) д х P к 1. х к х → 0 в (клони към тази функция);