зелена функция

В тази глава, ние смятаме, Лаплас уравнение "> Ро (Хо. Uo. Zo) в пространството) принадлежи на D и
">" > Да приемем, че на границата на D е нула Дирихле състояние.

Функцията G (P, Po) се нарича функция на Дирихле проблем в областта D. на Грийн Ако по някаква фиксирана точка ">
(I) непрекъснат "> (II) хармонична D освен По точка;
(III) в случая на равнина "> хармонична остава в точка Po.

Както следва от определението за Зелената функцията е непрекъсната и хармонична навсякъде в домейн D, с изключение на точката Po. в която се намира на вида черта "> в пространството. функция на Грийн понякога се нарича функцията източник.

функция на Грийн G (P, Po) (ако съществува) е еднозначно определена от свойствата (I) - (III). В допълнение, G (P, Po)> 0 в областта D. Помислете, например, равнинна местност D. За да докаже уникалността на функциите на Грийн, предположи обратното: нека G1. и G2 - две функции, притежаващи свойства (I) - (III) за дадена област и точка D ">.

Всяка скоба върху дясната страна на (41) е функция хармонична навсякъде в D (виж собственост (III).) И следователно разликата (G1 - G2) - хармонична функция навсякъде в D. Освен това, на границата функция D "> в Г.

След това, ако D1 - част от областта D. намира извън малкия квартал на точката Po. След това, в съответствие с условията (I) - (III), функцията G е непрекъсната в "> в)." > D1, при което стойността нула в област D1 не може да получава функция. Това означава, че ">

Пример 1. В самолета, помисли окръжност с радиус R центриран в основата. Ние се конструира функция на Грийн в кръга. В изграждането на тази функция е необходимо понятието за спрегнати точки. Точки Ро и P * са конюгат спрямо окръжността, ако те лежат на една и съща лъч, излъчвана от центъра на кръга О, и продукта от техните разстояния от центъра е равна на квадрата на радиуса:

Е обозначен с ро = | OPO | и R * = | ОП * |. След ро R * = R 2. Тъй точки Po и P лежат на един лъч, излъчвана от произхода,

където R = | Po P |. r1 = | PP * | (Вж. Фигура 17). Уверете се, че тя е функция на Грийн за кръга.

От теоремата на уют "> където ρ = | ОП |.

С помощта на уравнението ро R * = R 2. получаваме Така, стойностите R и R1 са изразени от R, ρ, ро. φ, φo. и, в крайна сметка, чрез R, X, Y, оксо. йо. Ние показваме, че страните от Г функция (P, Po) отговаря на елементите (I) - (III) решителност. Очевидно е, че функцията е непрекъсната навсякъде в затворен кръг, с изключение на мястото Po (когато R = 0). В граница кръг разстояние ρ = R и следователно

Следователно Функция "> е хармоничен навсякъде в Г., тъй като точка P принадлежи на региона, както и точка P * на се намира извън област D, а оттам и r1> 0. Harmonicity тази функция е лесно да се провери, ако пишете на Лаплас оператор в полярна координатна система полюс на P * (sm.analogichnuyu формула (33 *) с поле в точка G):

Подобно конструирана Функция на Грийн за сфера с радиус R. е даден от "> * |. Ro = | OPO |. P * точка (х * Y * Z * ..) конюгат точка Po (Хо Uo ZO ..) По отношение на областта на радиус R центрирана в О. нещо за ядене. " > *. у *. Z * се изчислява като:

Пример "> * са конюгат по отношение на права линия, ако те са симетрични по отношение на тази линия (вж. Фигура 18).

,">
(Виж Фиг.19.), Отговаря на свойствата (I) - (III) в половината равнина Y> 0. В действителност, на границата на у = 0 разстоянието R = R1. така "> навсякъде в област у> 0 може да бъде проверен директно чрез изчисляване частични производни:

Следователно, "> 0 навсякъде освен в точка Po и разликата G (P, Po) -. LN (1 / R) и хармонична в точката Po.

За полу-Z> ​​0 и функция на Грийн е от вида ">