Въведение в eigensystems
Той посочва, че размер матрица N * N има своя собствена стойност vektorx и съответния л. когато се изпълнява Ах = L х. Очевидно е, че всеки вектор пропорционално на тяхната собствена, също ще бъде собствен вектор; не смятаме, че такъв вектор различен а. Нулева вектор като себе си, не се взема предвид. За равенство на собствените стойности: Det | A - л 1 | = 0. Ако отворите този израз, получаваме полином в л заповед N, чиито корени са собствените стойности. От това следва, че винаги има собствени значения п (не непременно различни и валидни). Идентични стойности, съответстващи на няколко корени ще бъдат наричани дегенеративен. Търсене за намиране на корените на собствените стойности на - обикновено неефективна работа. Много по-ефективни методи ще бъдат описани по-долу.
От формулите по-горе също така следва, че за всяка от N собствените стойности на (не непременно важно) има съответен собствен вектор: известно е, че ако матрицата (А - L 1) е единствено число, то тогава има ненулева вектор чрез умножаване това Nulled.
Ако двете части на първото добавят експресия т х. ние виждаме, че собствените стойности на матрицата могат да се променят с постоянен тон. или изместен. добавяне на единица матрица, умножена по тази константа. Собствени вектори не се променят при срязване. Промяната е важна част от много алгоритми за изчисляване на собствените стойности. Тя също така следва, че нулевите собствените стойности не са специфично значение: всяка подходяща стойност може да се промени на нула или нулева стойност - изместен от нулата.
Определения и основни факти
Матрица се нарича симетрична. ако той съвпада с транспозицията (с транспониране): А = А или Т. AI, J = AJ, аз. Тя се нарича Hermitian. или самостоятелно долепени. ако тя е равна на комплекс матрица конюгат транспониране на неговата (на Hermitian конюгат от него): А = А H. или AI, J = ай, аз *. Тя се нарича ортогонална. ако неговото въвеждане е неговата обратна: AA T = A T A = 1. Тя се нарича единна. ако Hermitian конюгат е обратното. Накрая, матрицата се казва, че е нормална. ако е пермутация на Hermitian конюгат: AA Н = Н А. За реално матрица Hermitian симетрия означава, единични съвпада с ортогоналност, и двете от тези класове са нормални.
При търсене на собствени стойности на матрицата ", Hermitian" е много важна концепция: всички собствените стойности на Hermitian матрици валиден. От друга страна, собствените стойности на реалните симетрични матрици могат да бъдат или реални или комплексни двойки - конюгатни номера. Собствените стойности на комплекса не-Hermitian матрица е обикновено сложни.
Концепцията за "нормалност" е важно, когато търсят собствени вектори. Системни собствени вектори нормална матрица с nondegenerate (несъответстващи) собствени стойности е пълен ортогонална база и N двумерен вектор пространство. За нормален матрица с дегенерирани собствени стойности има свобода при определяне на собствени вектори, съответстващи на изроди собствени стойности, свързани със замяната на всяка линейна комбинация от тях. Това означава, че можем да прекараме vsegla ортогонализиране Gram - Шмид и пълен набор от ортогоналните собствени вектори, както в не-дегенерат делото. Очевидно е, че колоните на матрицата с ортонормирана набор от собствени вектори са единни. За матрица от собствени вектори, получени от реална симетрична матрица, ортогонална имот е извършена.
Ако матрицата не е нормално, както всички истински симетрични матрици, в общия случай не е възможно да се намери ортонормален набор от собствени вектори, ние не можем да гарантираме, дори всяка ортогонална чифт от тях (с изключение на редките случаи). По принцип тези N собствени вектори ще формират неортогоналните база в N-мерно пространство (но не винаги). Ако собствените вектори, не формират базата на N-измерна, матрицата ще се нарича дефектна.
Отляво и отдясно собствените вектори
Въпреки анормални собствени вектори на матрицата не винаги ортогонални един спрямо друг, те винаги образуват ортогоналност връзка с друг набор от вектори, както е определено по-долу. До сега, собствените вектори считат колона вектори, които се умножават по матрицата. По-точно, тези вектори се наричат десни собствени вектори. Но вие можете да се определи набор от собствените си и други редови вектори, които се умножават по матрицата в ляво и да отговарят на уравнението: XA = л х. Такива вектори се наричат леви собствени вектори. Транспониране на настоящото съотношение, можем да видим, че всеки напуснал собствен вектор A съвпада с десния собствен вектор на транспонирането на А. Тъй като определящ фактор на матрицата съвпада с определящ фактор за нейното транспониране, собствените стойности за дясно и ляво собствените вектори са едни и същи.
Ако матрицата е симетрична, левия и десния собствените вектори са транспозицията един от друг, т.е. Те имат същите цифрови компоненти. По същия начин, ако самостоятелно долепени матрица, надясно и наляво един вектор конюгат от Hermite. Като цяло, анормален матрицата има следната връзка. Нека XR - матрица, състояща се от колони десните собствени вектори, XL - редове на левите собствени вектори. По дефиниция собствени вектори са:
AXR = XR диаг (л л 1. N), XLA = диаг (л л 1. N) XL. Произведението на първото уравнение ляво на XL. и вторият от дясната XR и като се извади един от друг, ние получаваме: (XLXR) диаг (л л 1. N) = диаг (л л 1. N) (XLXR). Това предполага, че матрицата работи на левия и десния вектори с прекъсвачи с диагонална матрица от собствени стойности. Но в случаите, когато обществената комутируема матрица с диагонална матрица, състояща се от отделни елементи, тя самата е диагонала. По този начин, в случай на не-дегенерат набор от собствени стойности, всеки оставил собствения вектор е ортогонален на всички права, с изключение на съответното, както и обратното. С нормализиране матрица продукт на левите и десните вектори винаги може да бъде намален до идентичната матрица, за който и да е не-изроден случай.
Ако някои от собствените стойности са дегенеративен, след това или дясната ръка или левите собствени вектори, съответстващи на тези стойности трябва да бъде линейно комбинират една с друга, така че в крайна сметка образува ортогоналната база, съответно прав или левите собствени вектори. Това винаги може да стане чрез процедура на ортогонализиране Gram - Шмид. След това можете да регулирате силата на нормализиране, продуктът на матриците от дясно и ляво вектор е единична матрица. Ако това не може да се направи (продукт матрица е равна на нула), системата от собствени вектори е непълна. Имайте предвид, че такива непълни системи може да се случи само, когато множеството от собствени стойности е дегенерат, но не винаги: по-специално, непълна система от собствени вектори никога не възникват в класа на нормални матрици. Cm. [1] за повече подробности.
В двата случая, деградира или не деградира, нормализирана матрица продукта от леви и десни собствени вектори води до следния резултат: матрицата, чиито редове са левите собствени вектори - обратна на матрицата, чиито колони са десните собствени вектори, ако съществува обратна матрица.
diagonalization на матрицата
Използване на факта, че обратното на матрица XL да XR. от предходните формули получаваме: XR -1 AXR = диаг (л л 1. N). Това е специален случай на сходство трансформация матрица A. A -> Z -1 Я за трансформиране на матрица Z. Основната роля играе трансформация сходство в компютърни собствени стойности, тъй като не ги променят. Лесно е да се докаже: Det | Z -1 AZ - л 1 | = Det | Z -1 (А - L 1) Z | = Det | Z | Det | A - л 1 | Det | Z | -1 = Det | А - L 1 |. Очевидно е, че матрица с набор от собствени вектори, които отговарят за пълнота собственост (такива матрици включват всички нормални и "мнозинство" случаи на анормален матрица) може да бъде диагонилизирана от трансформация сходство, преобразуващия матрица, която е матрица, чиито колони съдържа координатите на десните собствени вектори; обратната същата линия с тях ще формира матрица на левите собствени вектори на координати.
За недвижими симетрични матрици действителното и собствени вектори са ортонормирани, като по този начин превръщането на матрицата е ортогонална. В този сходство трансформация е ортогонална трансформация:
А -> Z T AZ. Въпреки, че действителната асиметричен матрицата и може да се диагонилизирана "почти всички" случаи, трансформиране на матрицата не е задължително да са валидни. Въпреки това, се оказва, че "почти" цялата работа в този случай, както и, като действителната трансформация прилика. Това може да доведе до система матрица на малки блокове (2 х 2), разположени диагонално; Всички други позиции ще бъде нула. Всяка от размера на блока (2 х 2) съответства на сложни - конюгат двойка собствени стойности. Тази идея ще бъде използван в стаите алгоритми по-долу.
Основната стратегия на почти всички съвременни методи за изчисляване на собствените вектори и собствени стойности е, че матрицата е диагонална форма чрез подобие верига трансформации:
А -> Р1 AP1 -1 -> P1 P2 -1 -1 AP1P2 -> P3 P2 -1 -1 -1 Р1 AP1P2P3 т.н. Ако тази верига води в края на диагонал формата, след това матрицата на десните собствени вектори XR ще бъде на продукт матрица: XR = P1P2P3. Понякога не е необходимо да се извърши такава трансформация на диагонал форма. Например, ако ние се интересуваме само от собствените си ценности, а не собствените си вектор, това е достатъчно, за да донесе на триъгълна форма, в която са нули всички елементи над диагонала и под него. В този случай, диагоналните елементи вече ще трансформират матрица собствени стойности.
Има две коренно различни подходи към изпълнението на тази стратегия. Често те работят добре в комбинация един с друг, така че по-голямата част от съвременните методи за използване на двамата. Първият подход е да се изгради индивидуални матрици Pi двете явни "елементарни" трансформатори са предназначени за конкретни задачи, като за нулиране конкретен извън диагонал елемент (Jacobi трансформира) или цялата колона или ред (стопанин трансформации). Като цяло, ограничен верига на тези трансформации могат да бъдат диагонилизирана матрица. Има възможност за избор: или използването на ограничен брой превръщания за преминаване на повечето от пътя към diagonalization на (например, в резултат на tridiagonal форма или Gessenbergovskoy) и след това да се завърши операцията във втория етап чрез алгоритми, които ще бъдат посочени по-долу. Или повторения, за да намалят недиагоналните елементи да бъдат незначителни. Последният подход е концептуално проста, и ще бъдат обсъдени в следващия раздел, но и за N голям
10, е около 5 пъти по-малко ефективни.
Друг подход, наречени методи факторизиране. по-тънки. Да приемем, матрицата може да бъде разложен на продукт на дясната и лявата FR FL фактори. след това
А = FLFR. или, еквивалентно, FL -1 А = FR. Ако се размножават тези фактори в обратен ред и използването vyshenapisannoe идентичност, тогава имаме FRFL = FL -1 AFL. че веднага призната като трансформация сходство матрица А с матрицата трансформира FL. Тази идея използва метода на QR разлагане матрица.
методи на множители също не предоставят на сближаването на краен брой стъпки. Но най-доброто от тях се приближават бързо и надеждно, и с помощта на добър първоначалното състояние на матрицата, основните реформирани елементарни операции, са основните цели.
Готови софтуерни пакети за решаване на проблемите, характерни вектори и ценности
IMSL пакети [4] и NAG [5] и възпроизвеждат главно на алгоритми Handbook, Fortran.
"Добро пакет" на проблема от собствени вектори да се предоставят с индивидуални програми или индивидуални начини верига програми за всяка от следните задачи:
- всички собствени стойности без собствени вектори;
- всички собствени стойности и собствени на някои;
- всички собствените стойности и векторите.
Добър пакет също така осигурява индивидуални решения за следните видове матрици:
- Наистина, симетричен, tridiagonal;
- реално, симетричен, лентови (само някои от тях са различни от нула диагонали в непосредствена близост до главната);
- валиден, симетрично;
- Действително, несиметричен;
- комплекс, Hermitian;
- комплекс, без Hermitian.
В тази глава ще представи програмата за следните случаи:
- всички стойности на вектора и реално, симетричен, tridiagonal матрица;
- всички стойности на вектора и реална симетрична матрица;
- всички вектор и стойности за комплекс Hermitian матрица;
- всички вектор и действителните стойности за асиметрични матрици.
Обобщени и нелинейни проблеми собствени вектори и ценности
Много софтуерни пакети за собствените вектори и ценностите, които се занимават също с така наречените общи техен проблем [6]. Ах = л Вх. където А и В - матрица. Повечето от тези проблеми, в случая на не-изроденост В може да се намали до проблема (B -1 A) X = L х. Части А и Б са симетрични и В е положителен определено. матрица точка В -1 А не е симетрична, но проблемът може да се намали на проблема от собствени вектори и стойности за симетрична матрица използват Cholesky разлагане В = LL Т. Увеличаването на уравнението за L-1. ние получаваме С (L T х) = L (L T х), където С = L -1 А (L 1) Т. матрица С е симетричен, неговите собствени стойности са равни на собствените стойности на основната задача и собствените вектори са L T х. Един ефективен начин за получаване на това е да се реши матрица уравнение ИЛ T = A относително ниска триъгълна част от Y. матрицата След това, по отношение на долната триъгълна част на симетричен матрица С се решава уравнение: LC = Y. Друг обобщение на стандарта проблеми собствени вектори и стойности са нелинейни по отношение на собствени стойности проблем, например (а л 2 + B + C л) х = 0. Този проблем намалява до линейна въвеждането на допълнителни неизвестен собствен вектор Y и позволява линейна проблем за матрица (2N х 2N):